El límite del enunciado es 1. Entonces, como el denominador (sin(3x)) tiene límite 0, la única posibilidad de que el límite sea finito es que el numerador tenga también límite 0. Piensa que, si no fuera así, tendríamos un límite con resultado infinito.

1)

Observa que para formar palabras dispones de tres letras, de las que debes elegir 4, con orden y con repetición, por lo que la cantidad de palabras posibles es: N = 3⁴ = 81.

Luego, puedes plantear la elección de palabras formadas por dos letras en etapas:

a)

Eliges las letras que formarán la palabra, y observa que debes elegir dos letras entre tres, por lo que la cantidad de elecciones posibles es: N_a = C(3,2) = 3.

b)

Una vez elegidas las dos letras, observa que tienes dos clases de palabras posibles:

b1) Con una letra "triple" y otra "simple" (aaab, aaba, abaa, baaa, abbb, babb, bbab, bbba), y la cantidad de palabras es: N_b1 = 8;

b2) Con dos letras "dobles" (aabb, abab, abba, baab, baba, bbaa), y la cantidad de palabras es: N_b2 = 6;

luego, por el principio de adición, tienes que la cantidad de palabras formadas por dos letras distintas es: N_b = N_b1 + N_b2 = 8 + 6 = 14.

Luego, observa que por cada par de letras que has elegido en la etapa (a) tienes las opciones indicadas en la etapa (b),

por lo que por el principio de multiplicación, tienes que la cantidad de palabras formadas por dos letras distintas es: N₁ = N_a*N_b = 3*14 = 42.

Luego, la probabilidad de formar palabras de cuatro letras con dos letras solamente queda: p₁ = N₁/N = 42/81.

2)

Observa que la cantidad de palabras de cinco letras sin restricciones es: N = 3⁵ = 243,

ya que tienes tres letras disponibles, de las que debes elegir cinco con repetición.

Observa que la forma de la palabra "capicúa" es: abcba, y observa que dos de las letras, o las tres letras, pueden ser iguales.

Luego, puedes plantear la formación de la palabra por etapas.

a)

Eliges la "primera y también quinta" letra, y la cantidad de elecciones posibles es: N_a = 3.

b)

Eliges la "segunda y también cuarta" letra, y la cantidad de elecciones posibles es: N_b = 3.

c)

Eliges la "tercera" letra, y la cantidad de elecciones posibles es: N_c = 3.

Luego, observa que por cada elección que has hecho en la etapa a tienes todas las opciones de la etapa b, y luego todas las opciones de la etapa c,

por lo que por el principio de multiplicación, tienes que la cantidad de palabras capicúas de cinco letras es: N₂ = 3*3*3 = 27.

Luego, la probabilidad de formar una palabra capicúa de cinco letras es: p₂ = N₂/N = 27/243 = 1/9.

Espero haberte ayudado.

Son correctas. Es normal que tengan la misma derivada, pues difieren en una constante:

https://www.desmos.com/calculator/ueqnbdgdch

a)

Observa que x e y deben tomar valores distintos de cero.

Luego, multiplicas por 3xy en la segunda ecuación, haces pasaje de término en la primera ecuación, y el sistema queda:

y = 2 - x (1)

3y + 3x = - 2xy;

luego, sustituyes la expresión señalada (1) en la segunda ecuación, y queda:

3(2 - x) + 3x = -2x(2 - x), distribuyes factores comunes, y queda:

6 - 3x + 3x = -4x + 2x², cancelas términos opuestos en el primer miembro, haces pasajes de términos, y queda:

-2x² + 4x + 6 = 0, divides por -2 en todos los términos de la ecuación, y queda:

x² - 2x - 3 = 0,

que es una ecuación polinómica cuadrática, que tiene dos soluciones:

1)

x = -1, luego sustituyes en la ecuación señalada (1) y queda: y = 3;

2)

x = 3, luego sustituyes en la ecuación señalada (1) y queda: y = -1.

luego, tienes que el conjunto solución del sistema de ecuaciones queda expresado:

S = { (-1,3) , (3,-1) }.

Espero haberte ayudado.