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Te recomiendo que mandes 2 fotos en vez de una y así puedes hacerlo más de cerca para que sea legible.

¿Como supo que necesitaba modulo la ultima parte? Muchas gracias

Es el valor absoluto, porque el área     A= 9/2 =  | ₀∫^1-k (x-x²-kx) dx |

https://www.vitutor.com/integrales/definidas/areas_integrales.html

¿Y qué es exactamente lo que no entiendes, K?

Elevas al cuadrado y queda:

2²*(√(4x+1))²=5²*(√(3x-2))²+4²-2*4*5√(3x-2)

4*(4x+1)=25*(3x-2)+16-40√(3x-2)

16x+4=75x-50+16-40√(3x-2)

40√(3x-2)=75x-50+16-16x-4

40√(3x-2)=59x-38

(40√(3x-2))²=(59x-38)²

40²*(3x-2)=3481x²+1444-4484x

4800x-3200=3481x²+1444-4484x

3481x²-9284x+4644=0

Elevas al cuadrado en ambos miembros, y queda:

( 2*√(4x + 1) )² = (5*√(3x - 2) - 4)², resuelves cuadrados en el primer miembro, desarrollas en el segundo miembro, y queda:

4*(4x + 1) = 25*(3x - 2) - 40*√(3x - 2) + 16, distribuyes agrupamientos, y queda:

16x + 4 = 75x - 50 - 40*√(3x - 2) + 16, haces pasajes de términos, reduces términos semejantes, y queda:

40*√(3x - 2) = 59x - 38, elevas al cuadrado en ambos miembros, y queda:

( 40*√(3x - 2) )² = (59x - 38)², resuelves cuadrados en el primer miembro, desarrollas en el segundo miembro, y queda:

1600*(3x - 2) = 3481x² - 4484x + 1444, distribuyes en el primer miembro, y queda:

4800x - 3200 = 3481x² - 4484x + 1444, haces pasajes de términos, reduces términos semejantes, y queda:

-3481x²  + 9284x - 4644 = 0, multiplicas en todos los términos de la ecuación por -1, y queda:

3481x²  - 9284x + 4644 = 0, 

luego, resuelves la ecuación polinómica cuadrática, y tienes las soluciones:

x ≅ 0,6670,

x = 2.

Espero haberte ayudado.

¡Hola! Nos encantaría ayudarte, pero no solemos responder dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los vídeos que David Calle ha grabado como excepción. O de otras asignaturas que no sean Matemáticas, Física y Química. Lo sentimos de corazón… Esperamos que  lo entiendas.

Ojalá algún unicoo universitario se anime a ayudarte (de hecho, lo ideal es que todos los universitarios intentarais ayudaros los unos a los otros).

Vamos con una orientación.

Plantea la definición de derivada direccional de la función en el punto A(0,0), en la dirección del vector unitario v = <v₁,v₂>:

D_vf(0,0) =

= Lím(t→0) ( f(0+tv₁,0+tv₂) - f(0,0) )/t =

sustituyes expresiones, cancelas el término nulo en el numerador, y queda:

= Lím(t→0) [ ( (tv₁)³ + (tv₂)³ ) / ( (tv₁)² + (tv₂)² ) ] / t =

distribuyes exponentes en los términos, extraes factores comunes en el numerador y en el denominador en el agrupamiento, y queda:

= Lím(t→0) [ ( t³*(v₁³ + v₂³) ) / ( t²*(v₁² + v₂²) ) ] / t = 

simplificas en el agrupamiento, y queda:

= Lím(t→0) [ t*(v₁³ + v₂³) ) / (v₁² + v₂²) ] / t = 

simplificas, y queda:

= Lím(t→0) (v₁³ + v₂³) / (v₁² + v₂²) =

= (v₁³ + v₂³) / (v₁² + v₂²) =

sustituyes en el denominador (recuerda que el vector v es unitario, por lo que tienes: |v|² = ( √(v₁² + v₂²) )² = v₁² + v₂² = 1), y queda:

= (v₁³ + v₂³)/1 = 

= (v₁³ + v₂³).

Espero haberte ayudado.

Recuerda que la continuidad en un punto es condición necesaria (pero no suficiente) para la derivabilidad de la función en dicho punto.

1°)

f(c) = c²;

2°)

Lím(x→c-) f(x) = Lím(x→c-) x² = c²,

Lím(x→c+) f(x) = Lím(x→c+) (ax + b) = ac + b,

luego, para la existencia del límite tienes que los límites laterales deben ser iguales, por lo que tienes la ecuación: ac + b = c² (1);

3°)

con la condición señalada (1) tienes que la función es continua en x = c.

Luego, plantea la expresión de la función derivada (también puedes hacerlo para cada trozo, por medio de la definición):

f ' (x) =

2x                           si x < c

a determinar       si x = c

a                            si x > c;

luego, puedes estudiar los límites laterales de la función derivada para x tendiendo a c:

Lím(x→c-) f ' (x) = Lím(x→c-) 2x = 2c,

Lím(x→c+) f ' (x) = Lím(x→c+) a = a;

luego, plantea la igualdad de los límites laterales de la función derivada, y tienes la ecuación: a = 2c (2).

Luego, sustituyes la expresión señalada (2) en la ecuación señalada (1), y queda; 2c² + b = c², haces pasaje de término, y queda: b = -c².

Luego, la expresión de la función queda:

f(x) =

x²                 si x ≤ c

2cx - c²       si x > c;

y la expresión de la función derivada queda:

f ' (x) =

2x               si x < c

2c               si x = c

2c               si x > c.

Espero haberte ayudado.