Observa que tienes un sólido (B) limitado superiormente por un disco circular incluido en el plano cuya ecuación es:

z =10,

e inferiormente por un semicono circular recto superior con vértice en el origen y eje OZ, cuya ecuación es:

z = √(x² + y²),

y observa que si planteas la intersección en tre el semicono y el plano, tienes el sistema de ecuaciones:

x² + y² = 100

z = 10,

que corresponde a una circunferencia con centro en el punto C(0,0,10) y radio 10, incluida en el plano.

Luego, tienes el intervalo de integración para la variable z:

√(x² + y²) ≤ z ≤ 10.

Luego, plantea la integral triple para el volumen (observa que indicamos con R a la región de proyección del sólido sobre el plano OXY):

V = ∫∫∫_B 1*dz*dx*dy = integras para z = ∫∫_B [z]*dx*dy = evalúas = ∫∫_B (10 - √(x² + y²)*dx*dy.

Luego, observa que la región R es un disco circular en el plano OXY, con centro en el origen y radio 10, por lo que planteas el cambio a coordenadas polares (observa que tienes los intervalos de integración: 0 ≤ r ≤ 10, 0 ≤ θ ≤ 2π, y el factor de compensación (Jacobiano): |J| = r), y queda:

V = ∫∫_B ( 10 - √(r²) )*r*dr*dθ = ∫∫_B (10 - r )*r*dr*dθ = ∫∫_B (10*r - r² )*dr*dθ =  integras para r = ∫ [5*r² - r³/3]*dθ = resuelves para r:

= ∫ [5*10² - 10³/3]*dθ = (500 - 1000/3)*∫ 1*dθ = resuelves para θ:

= (500/3)*[θ] = (500/3)*(2π - 0) = 1000π/3.

Espero haberte ayudado.

Tienes que utilizar métodos numéricos (Newton-Raphson-Fourier)

https://www.youtube.com/watch?v=tX9ecFstUUk

https://es.symbolab.com/solver/step-by-step/-1000x%5E%7B5%7D%20%2B%20300x%5E%7B4%7D%20%2B%20300x%5E%7B3%7D%2B%20300x%5E%7B2%7D%2B300x%2B300%20%3D%200

Tienes el límite:

L = Lím(x→2) (-e^{x^2 - 4} + 1) / (2x² - 6x + 4),

y observa que tienes un límite indeterminado, porque tanto el numerador como el denominador tienden a cero, cuando x tiende a 2.

Luego, aplicas la Regla de L'Hôpital (derivas independientemente en el numerador y en el denominador), y queda:

L = Lím(x→2) (-e^{x^2 - 4} *2x) / (4x - 6) = evalúas = (-e⁰*4)/(8 - 6)  = -4/2 = -2.

Luego, tienes que la opción (B) es la respuesta correcta.

Espero haberte ayudado.

Debes corregir, porque las expresiones correctas son:

coth(x) = cosh(x)/senh(x),

coth(x) = 1/tanh(x);

y recuerda:

tanh(x) = senh(x)/cosh(x).

Espero haberte ayudado.

¿     cotgh(x)=(cosh(x))/(tanh(x))   ?

(e^x+e^-x)/(e^x-e^-x)= ((e^x+e^-x)/2)/((e^x-e^-x)/(e^x+e^-x))

(e^x+e^-x)/(e^x-e^-x)= ((e^x+e^-x)²/(2(e^x-e^-x))

(e^x+e^-x)*(2(e^x-e^-x)) = (e^x-e^-x)*(e^x+e^-x)²

(e^x+e^-x)*(2e^x-2e^-x) = (e^x-e^-x)*(e^2x+e^-2x-2(e^x*e^-x))

2e^2x-2e^-2x = (e^x-e^-x)*(e^2x+e^-2x-2)

2e^2x-2e^-2x = e^3x+e^-x-2e^x-e^x-e^-3x+2e^-x

2e^2x-2e^-2x ≠ e^3x-e^-3x+3e^-x-3e^x

(2e^2x-2e^-2x)/(2e^2x-2e^-2x) = (e^3x-e^-3x+3e^-x-3e^x)/(2e^2x-2e^-2x)

1 ≠  (e^3x-e^-3x+3e^-x-3e^x)/(2e^2x-2e^-2x)

Entonces  cotgh(x) ≠ (cosh(x))/(tanh(x))

Tienes la expresión de la función:

f(x) = ln( √(1-cosx) / √(1+cosx) );

luego, puedes "preparar" la expresión de la función antes de derivar, y para ello:

aplicas la propiedad del logaritmo de una división, y queda:

f(x) = ln( √(1-cosx) ) -  ln( √(1+cosx) ),

luego, aplicas la propiedad del logaritmo de una raíz en ambos términos, y queda:

f(x) = (1/2)*ln(1-cosx) - (1/2)*ln(1+cosx).

Luego, derivas (observa que puedes derivar cada término por separado, y que en ambos debes aplicar la Regla de la Cadena), y queda:

f ' (x) = (1/2)*( senx/(1-cosx) ) - (1/2)*( -senx/(1+cosx) ),

luego, a fin de reducir a la mínima expresión:

resuelves signos en el segundo término, y queda:

f ' (x) =  (1/2)*( senx/(1-cosx) ) + (1/2)*( senx/(1+cosx) ), extraes factores comunes, y queda:

f ' (x) = (1/2)*senx*( 1/(1-cosx) + 1/(1+cosx) ), extraes denominador común en el agrupamiento, y queda:

f ' (x) = (1/2)*senx*( (1+cosx + 1-cosx) / (1-cosx)(1+cosx) ),

reduces términos semejantes en el numerador (observa que tienes cancelaciones), resuelves el producto en el denominador, y queda:

f ' (x) = (1/2)*senx*( 2/(1-cos2x) ),

resuelves factores numéricos, aplicas la identidad del cuadrado del seno en función del cuadrado del coseno en el denominador, y queda:

f ' (x) = senx/sen2x, 

simplificas, y queda:

f ' (x) = 1/senx.

Espero haberte ayudado.

Tienes las ecuaciones cartesianas implícitas de los planos, cuyos vectores normales quedan expresados: n_α = < -1 , 2 , 1 > y n_β = < 0 ,-2 , 1 >.

a)

Para determinar las coordenadas de los puntos de intersección del plano α con los ejes coordenados, vas anulando de a dos incógnitas en su ecuación, y vas despejando la tercera, y tienes: x = 2, y = -1, z = -2, por lo que los puntos tienen coordenadas: A(2,00), B(0,-1,0) y C(0,0-2).

Luego, observa que el tetraedro es una pirámide cuya base es el triángulo rectángulo AOB, y cuya altura es 0C.

Luego, plantea las expresiones de los vectores correspondientes a los lados del tetraedro que están sobre los ejes coordenados:

OA = < 2 , 0 , 0 >, OB = < 0 , -1 , 0 > y OC = < 0 , 0 , -2 >.

Luego, tienes para el área de la base del tetraedro (te dejo los cálculos):

A_AOB = |OAxOB| = |< 0 , 0 , -2 >| = 2 (expresada en unidades de superficie).

Luego, tienes para la longitud de la altura del tetraedro:

h = |OC| = |< 0 , 0 , -2 >| = 2 (expresada en unidades de longitud).

Luego, plantea la expresión del volumen del tetraedro (pirámide recta con lados triangulares):

V_T = (1/3)*A_AOB*h = (1/3)*|OAxOB|*|OC| = (1/3)*2*2 = 4/3 (expresado en unidades de volumen).

b)

Observa que la recta es paralela a los dos planos a la vez, por lo que su vector director debe ser perpendicular a los dos vectores normales a los planos, por lo que puedes plantear que el vector director de la recta es igual al producto vectorial entre los dos vectores normales a los planos:

u = n_αxn_β = < -1 , 2 , 1 > x < 0 ,-2 , 1 > = < 4 , 1 , 2 >;

luego, tienes que el punto P(0,-1,3) pertenece a la recta, por lo que puedes plantear sus ecuaciones cartesianas simétricas (o continuas):

( x-0 )/4 = ( y-(-1) )/1 = ( z-3)/2, reduces expresiones, y queda:

x/4 = y + 1 = (z - 3)/2.

Espero haberte ayudado.

Tienes la ecuación cartesiana implícita del plano, y de ella tienes la expresión de su vector normal: n = < 1 , -1 , -a >.

Tienes las ecuaciones cartesianas simétricas (o continuas) de la recta, luego igualas cada uno de sus miembros a un parámetro t, luego despejas,

y tienes las ecuaciones cartesianas paramétricas de la recta:

x = 3t+2

y = -5t

z = 2t, 

con t ∈ R,

cuyo vector director es: u = < 3 , -5 , 2 >.

a)

Plantea la condición de paralelismo entre recta y plano (observa que el vector director de la recta debe ser perpendicular al vector normal al plano, por lo que el producto escalar entre dichos vectores debe ser igual a cero), y tienes la ecuación vectorial:

u•n = 0, sustituyes expresiones, y queda:

< 3 , -5 , 2 >•< 1 , -1 , -a > = 0, desarrollas el producto escalar, y queda:

3*1 - 5*(-1) + 2*(-a) = 0, resuelves términos, reduces términos semejantes, y queda:

8 - 2*a = 0, haces pasaje de término, y queda:

- 2*a = - 8, haces pasaje de factor como divisor, y queda:

a = 4.

b)

Vamos por pasos:

1°)

Plantea la ecuación del plano que es perpendicular a la recta (observa que su vector normal es el vector director de la recta), y que pasa por el punto P(1,2,3):

3*(x-1) - 5*(y-2) + 2*(z-3) = 0, distribuyes en todos los términos, reduces términos numéricos, y queda:

3*x - 5*y + 2*z + 1 = 0.

2°)

Plantea la intersección entre la recta y este plano, y para ello sustituyes las expresiones paramétricas de la recta en la ecuación del plano, y queda:

3*(3t+2) - 5*(-5t) + 2*(2t) + 1 = 0, distribuyes, reduces términos semejantes, y queda:

38*t + 7 = 0, haces pasaje de término, luego haces pasaje de factor como divisor, y queda:

t = -7/38;

luego, reemplazas en las ecuaciones cartesianas paramétricas de la recta, y queda:

x = 3*(-7/38) + 2 = -21/38 + 2 = 55/38,

y = -5*(-7/38) = 35/38,

z = 2*(-7/38) = -14/38 = -7/19,

por lo que tienes el punto de intersección entre la recta y el plano perpendicular a ella que pasa por el punto P, que queda expresado: A(55/38,35/38,-7/19).

3°)

Tienes que la distancia entre la recta y el punto P es igual a la distancia entre el punto P y el punto A, por lo que puedes plantear:

d(P,r) = d(P,A) = √( (55/38-1)² + (35/38-2)² + (-7/19-3)² ) = √( (17/38)² + (-41/38)² + (-64/19)² ) = √(18354/1444) = √(9177/722) ≅ 3,565.

Espero haberte ayudado.

Gracias, aunque la parte B me ponía con respecto a otra recta dada, no a la recta del apartado A. pero ya he pillado como va.

Es correcto.

Tienes la inecuación:

(2*v₀²/g)*cos(2θ) > 0,

observa que el factor encerrado entre paréntesis es positivo, haces el pasaje como divisor, y queda:

cos(2θ) > 0, 

luego, recuerda que el coseno es positivo en el primer cuadrante (y en el cuarto),

por lo que puedes plantear:

0 < 2θ < π/2 o 3π/2 < θ < 2π, divides por 2 en todos los miembros de la doble inecuación , y queda:

0 < θ < π/4 o 3π/4 < θ < π,   

luego, la expresión es positiva en el intervalo remarcado.

Espero haberte ayudado.