Tienes el vector U = <-1,5> que pertenece al dominio de la transformación, y observa que para él tienes: x = -1 e y = 5.

Luego, aplicas la transformación, y queda:

T(-1,5) = < 3(-1) , 2(5) , -1+5 > = < -3 , 10 , 4 >.

Luego, plantea:

4*T(-1,5) = 4*< -3 , 10 , 4 > = < 4(-3) , 4(10) , 4(4) > = < -12 , 40 , 16 >.

Espero haberte ayudado.

Observa que los focos pertenecen a la recta cuya ecuación es: x = 5, que es paralela al eje coordenado OY.

Luego, plantea que el centro de simetría es el punto medio entre los focos: C( (5+5)/2 , (-2+4)/2 ), resuelves coordenadas, y queda: C(5,1).

Luego, tienes los semiejes:

a = d(C,A) = 2 (semieje real, observa que tienes uno de los vértices reales: A(5,3)),

c = d(C,F) = 3 (semieje focal);

luego, plantea la relación entre los semiejes de la hipérbola:

a2 + b2 = c2, haces pasaje de término, y queda:

b2 = c2 - a2 = 32 - 22 = 9 - 4 = 5, de donde tienes: b = √(5) (semieje imaginario).

Luego, tienes todo para plantear la ecuación cartesiana canónica de una hipérbola con centro C(h,k) y eje focal paralelo al eje OY:

- (x-h)2/b2 + (y-k)2/a2 = 1, 

reemplazas valores, resuelves denominadores, y queda:

- (x-5)2/5 + (y-1)2/4 = 1.

Espero haberte ayudado.

Plantea un punto genérico P(x,y) perteneciente a la parábola, por lo que tienes que su ordenada queda expresada:

y = 10x² - 9x - 88/9 (1).

Luego, plantea la expresión de la  "distancia cuadrática" entre el punto A(52,-4) y el punto P(x,y):

d(A,P)² = (x - 52)² + (y + 4)², sustituyes la expresión señalada (1), reduces numéricos en el segundo agrupamiento, y queda:

d(A,P)² = (x - 52)² + (10x² - 9x - 52/9)².

Luego, tienes la expresión de la función:

f(x) = (x - 52)² + (10x² - 9x - 52/9)²(2);

luego, plantea la expresión de la función derivada primera:

f ' (x) = 2*(x - 52) + 2*(10x² - 9x - 52/9)*(20x - 9), desarrollas términos, y queda:

f ' (x) = 2x - 104 + 400x³ - 180x² - 360x² + 162x - 2080x/9 + 104,

reduces términos semejantes (observa que tienes cancelaciones), ordenas términos, y queda:

f ' (x) = 400x³ - 540x² - 604x/9 (3);

luego, plantea la expresión de la función derivada segunda:

f ' ' (x) = 1200x² - 1080x - 604/9 (4).

Luego, plantea la condición de punto crítico (posible máximo o posible mínimo):

f ' (x) = 0, sustituyes la expresión señalada (3), y queda:

400x³ - 540x² - 604x/9 = 0, multiplicas en todos los términos de la ecuación por 9/4, y queda:

900x³ - 1215x² - 151x = 0, extraes factor común, y queda:

x*(900x² - 1215x - 151) = 0,

luego, por anulación de un producto, tienes dos opciones:

a)

x = 0,

luego evalúas en la expresión de la derivada segunda señalada (4), y queda:

f ' ' (0) = - 404/9 < 0, por lo que tienes que la gráfica de la función es cóncava hacia abajo en este punto crítico, por lo que tienes un máximo local,

luego, reemplazas en la ecuación de la parábola, y queda: y = - 88/9, por lo que tienes el punto: P₁(0,-88/9), y observa que es un máximo local porque la parábola es una curva infinita;

b)

900x² - 1215x - 151 = 0,

que es una ecuación polinómica cuadrática cuyas soluciones son:

b₁)

x ≅ -0,1146,

luego evalúas en la expresión de la derivada segunda señalada (4), y queda:

f ' ' (-0,1146) ≅ 87,8877 > 0, por lo que tienes que la gráfica de la función es cóncava hacia arriba en este punto crítico, por lo que tienes un mínimo local, luego, reemplazas en la ecuación de la parábola, y queda: y ≅ -8,6150, por lo que tienes que el punto P₂(-0,1146,-8,6150);

b₂)

x ≅ 1,4646,

luego evalúas en la expresión de la derivada segunda señalada (4), y queda:

f ' ' (1,14646) ≅ 925,1847 > 0, por lo que tienes que la gráfica de la función es cóncava hacia arriba en este punto crítico, por lo que tienes un mínimo local, luego, reemplazas en la ecuación de la parábola, y queda: y ≅ -8,6150, por lo que tienes que el punto P₃(1,4646,-8,6150);

luego, evalúas la expresión de la función señalada (2) para los dos puntos en los que alcanza mínimos locales, y tienes:

f(-0,1146) ≅ 2737,2302,

f(1,4646) ≅ 2560,0335;

por lo que tienes que la función alcanza mínimo absoluto en el punto: P₃(1,4646,-8,6150),

cuya distancia al punto A(52,-4) queda: d(A,P₂) ≅ √(2560,0335) ≅ 50,5968,

que es la distancia mínima entre el punto A y la parábola.

Espero haberte ayudado.

Los dos artículos costaban lo mismo= x

en la camisa le han rebajado un 20%  ----> camisa=x-0.2x

  y en los zapatos, un 30% -----> zapatos= x- 0.3x 

(x-(0.2x))+(x-(0.3x)) = 30

0.8x+0.7x = 30

1.5x = 30

x= 20 euros costaba cada cosa antes de la rebaja

Con la rebaja pagó:

camisa= x-0.2x = 20-(0.2*20) = 16 euros

pantalones= x-0.3x = 20-(0.3*20) = 14 euros

2)

Recuerda que si tienes dos vectores perpendiculares, su producto escalar debe ser igual a cero, por lo que plantea:

(a + k*b)•(a - k*b) = 0, distribuyes, y queda:

a•a - a•k*b + k*b•a - k*b•k*b = 0,

ordenas factores en los términos (recuerda que el producto escalar es conmutativo, y que el producto de un número por un vector también lo es), y queda:

a•a - k*a•b + k*a•b - k²*b•b = 0, cancelas términos opuestos, y queda:

a•a - k²*b•b = 0, 

aplicas la propiedad del producto escalar de un vector por si mismo (recuerda que es igual al módulo del vector, elevado al cuadrado), y queda:

|a|² - k²*|b|² = 0, reemplazas valores, y queda:

3² - k²*5² = 0, resuelves coeficientes, haces pasaje de término, y queda:

-25*k² = -9, haces pasaje de factor como divisor, y queda:

k² = 9/25, haces pasaje de potencia como raíz, y tienes dos soluciones:

k = -3/5 y k = 3/5,

luego, observa que la suma de los valores que hemos obtenido es igual a cero, por lo que tienes que la opción (c) es la respuesta correcta.

Espero haberte ayudado.

3)

Tienes que el vector x es colineal con el vector v, por lo que puedes plantear que el vector x es un múltiplo escalar del vector v:

x = k*v, con k ∈ R (1).

Tienes que el producto escalar entre el vector x y el vector v es igual a tres, por lo que plantea:

x•v = 3, sustituyes la expresión señalada (1), y queda:

k*v•v = 3, resuelves el producto escalar del vector v por si mismo, y queda:

k*|v|² = 3, calculas el cuadrado del módulo del vector v en función de sus componentes (te dejo la tarea), y queda:

k*5 = 3, haces pasaje de factor como divisor, y queda:

k = 3/5, luego reemplazas en la ecuación señalada (1), y queda:

x = (3/5)*<2,-1> = <6/5,-3/5>,

luego, tienes que la suma de sus componentes queda:

S = 6/5 + (-3/5) = 3/5, 

por lo que tienes que la opción (c) es la respuesta correcta.

Espero haberte ayudado.

Gracias, genio!

http://www.itchihuahua.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/06Aprox%20Poisson%20Binomial.htm

Te ayudo un poco

Vamos con una orientación para la resolución de tu ejemplo.

Plantea la expresión del volumen del sólido (R):

V_R = ∫∫∫_R 1*dV.

Tienes que el "techo" del sólido es una porción del plano, y que el "piso" del sólido es una porción del paraboloide, 

por lo que ya tienes el intervalo de integración para z:

(3-2y) ≤ z ≤ (x²+y²);

luego, puedes plantear la integral para la variable z:

V_R = ∫∫_D ( ∫ 1*dz ) * dA, donde D es la región proyección del sólido sobre el plano coordenado OXY;

luego, resuelves la integral para z, y queda:

V_R = ∫∫_D ( [z] ) * dA = V_R = ∫∫_D ( (x²+y²) - (3-2y) ) * dA = ∫∫_D ( x²+y² -3+2y )*dA (1).

Luego, a fin de determinar la frontera de la región de proyección D, eliminas z entre la ecucación del "techo" y la ecuación del "piso" del sólido, y queda la ecuación:

x² + y² = 3 - 2y, haces pasaje de término, y queda:

x² + y² + 2y = 3, sumas 1 en ambos miembros, y queda:

x² + y² + 2y + 1= 4, factorizas el trinomio cuadrado perfecto, y queda:

x² + (y+1)² = 4,

y observa que es la ecuación de una circunferencia, que es la frontera de un disco circular con centro (0,-1) y radio 2.

Luego, plantea el cambio a coordenadas polares centradas en el centro de simetría del disco:

x = r*cosθ,

y+1 = r*senθ;

haces pasaje de término en la segunda ecuación, y queda:

x = r*cosθ,

y = r*senθ - 1,

con los intervalos:

0 ≤ r ≤ 2,

0 ≤ θ ≤ 2π,

y el factor de compensación (Jacobiano): |J| = r.

Luego, sustituyes las expresiones señaladas (1) (2) y agregas el factor de compensación en la integral señalada (1), desarrollas (te dejo la tarea), y queda:

V_R = = ∫∫_D ( x²+y² -3+2y )*dA = ∫∫_D ( r² - 4 )*r*dr*dθ = ∫∫_D ( r³ - 4*r )*dr*dθ = y puedes continuar la tarea.

Espero haberte ayudado.