a)

Integra en ambos trozos (observa que sus expresiones son funciones integrables), y queda:

G(x) =

-cos(πx)/π + C                si x < 1

a determinar                 si x = 1

xlnx - x + D                     si x > 1.

Luego, plantea la igualdad de límites laterales en el punto de corte:

Lím(x→1-) G(x) = Lím(x→1-) ( -cos(πx)/π + C ) = 1/π + C,

Lím(x→1+) G(x) = Lím(x→1+) ( xlnx - x + D ) = -1 + D;

luego, igualas expresiones, y queda:

1/π + C = -1 + D, haces pasajes de términos, y queda:

1/π + 1 = D - C, 

luego, puedes definir: C = 0, reemplazas y tienes: 1/π + 1 = D,

y observa que para estos valores los límites laterales son iguales a 1/π.

luego, reemplazas valores en la expresión de la función primitiva, y queda:

G(x) =

-cos(πx)/π                  si x < 1

1/π                              si x = 1

xlnx - x + 1/π + 1       si x > 1.

b)

Plantea la integral como una suma de integrales:

I = I₁ + I₂,

luego, plantea cada integral por separado:

I₁ = ∫ sen(πx)*dx = [ -cos(πx)/π ] = (evalúas entre 0 y 1) = 1/π - (-1/π) = 2/π;

I₂ =  ∫ (xlnx - x + 1/π + 1)*dx = [ (x²/2)lnx - x²/4 ] = (evalúas entre 1 y 2) = (2ln2-1) - (-1/4) = 2ln(2) - 3/4;

luego reemplazas valores, y tienes para la integral que piden en tu enunciado:

I = I₁ + I₂ = 2/π + 2ln(2) - 3/4.

Espero haberte ayudado.

Yo he intentado hacerlo y me sale 2/π + 2*ln(2)-1

La primera integral (I₁) me sale igual a ti

La segunda integral ∫ln(x) (evaluando de 1 a 2)

¿No se puede hacer como una integral definida normal sin darle valores a C y D?

Gracias

Creo que no hay soluciones 

Ok, gracias!

Recuerda la expresión de la altura de un triángulo equilátero en función de la longitud de su lado:

h = √(3)*L/2 = √(3)*16/2 = 8*√(3) cm.

Luego, plantea el área del triángulo equilátero base:

A = L*h/2 = 16*8*√(3)/2 = 64*√(3) cm².

Luego, plantea la expresión de la altura del prisma, a partir de la relación que tienes en el enunciado:

H = 4*h = 4* 8*√(3) = 32*√(3) cm.

Luego, plantea la expresión del volumen del prisma recto, en función del área de su base y de su altura:

V = A*H = 64*√(3)*32*√(3) = 2048*( √(3) )² = 2048*3 = 6144 cm³.

Espero haberte ayudado.

con tan solo 3 terminos en la serie nos da  

Vamos con una orientación.

Observa que los puntos A(0,0) y B(π/2,1) pertenecen a las dos curvas.

Luego, haz un gráfico, y observa que la curva "más alejada" del eje de giros (x = 3) tiene ecuación: y = senx,

luego, compones en ambos miembros con la función inversa del seno, y queda:

arcseny = x (1);

y observa que la curva "más cercana" al eje de giros tiene ecuación: y = (2/π)*x,

luego, haces pasaje de factor como divisor, resuelves, y queda:

(π/2)y = x (2).

Luego, plantea la expresión del volumen de revolución, alrededor de un eje paralelo al eje coordenado OY, a partir de las expresiones señaladas (1) (2), y queda:

V = π * ∫ ( (arcseny)² - ( (π/2)y )² )*dy = π * ∫ (arcsen²y - (π²/4)y²)*dy, para evaluar entre y = 0 e y = π/2.

Luego, observa que debes separar en términos y tendrás dos integrales:

a) 

la primera de ellas puedes resolverla con la sustitución (cambio de variable): w = seny, y luego verás que te queda para resolver una integral por partes, en dos pasos,

b)

la segunda puedes resolverla en forma directa.

Queda que concluyas la tarea.

Espero haberte ayudado.

Si, pero no influye en la integral que gire alrededor de X=3?  Me refiero a si hay que desplazar las funciones para que giren alrededor de ese eje.

En las proximidades de x=5 la función está acotada. Toma delta <1, esto es, 4<x<6, con lo que  abs(1/(x-2))<1/2  

Porque debo tomar un delta <1?

a esto me refiero, si yo elijo un delta igual a 1 o 2, estaria dejando fuera de mi entorno el pto que no existe, entonces no es valido? Y si no porque no lo es.

Para alejarte suficientemente de x=2.

Sinceramente, creo que 3º de primaria no es aún el curso adecuado para introducir los decimales.

la duda en si es que no se plantear las restricciones, perdón por no especificar

Muéstranos tu trabajo.