Observa que el punto (3,1) pertenece a la curva, por lo que es el punto de contacto con la recta tangente,
cuya ecuación puedes dejar planteada en la forma:
y - 1 = m(x - 3) (*),
y la pendiente queda planteada como el valor de la función derivada evaluada en el punto de contacto.
Luego, derivas implícitamente con respecto a x en la ecuación de la curva,
que define implícitamente a y como función de x: y = f(x), y queda:
2*x - 2*y - 2*x*y ' - 2*y*y ' = 0,
divides en todos los términos de la ecuación por 2, y queda:
x - y - x*y ' - y*y ' = 0,
reemplazas las coordenadas del punto de contacto, y queda:
3 - 1 - 3*y ' - 1*y ' = 0, reduces términos semejantes, haces pasaje de término, y queda:
-4*y ' = -2, haces pasaje de factor como divisor, y queda:
y ' = 1/2, que es el valor de la pendiente de la recta tangente en el punto de contacto,
por lo tanto tienes: m = 1/2;
luego, reemplazas en la ecuación de la recta tangente señalada (*), y queda:
y - 1 = (1/2)*(x - 3), distribuyes en el segundo miembro, haces pasaje de término, y queda:
y = (1/2)*x - 1/2.
Espero haberte ayudado.
