1ª parte:

2ª:

Vas muy bien, y continuamos tu tarea.

Luego, multiplica por 3y² en todos los términos de tu última ecuación, y queda:

3y²*y ' - (1/x)*y³ = x²,

luego, puedes plantear la sustitución (cambio de función):

y³ = w (1), de donde tienes: 3y²*y ' = w ',

luego sustituyes, y la ecuación diferencial queda:

w ' - (1/x)*w = x², 

que es una ecuación diferencial lineal, de primer orden y de primer grado, que no es homogénea.

Luego, resuelves (te dejo la tarea), y queda:

w = x*( (1/2)x² + C ) con C ∈ R, distribuyes, y queda:

w = (1/2)x³ + Cx.

Luego, sustituyes en la expresión señalada (1), y queda:

y³ = (1/2)x³ + Cx, que es una solución general implícita de la ecuación diferencial que tienes en tu enunciado;

luego, haces pasaje de potencia como raíz, y queda:

y = ∛( (1/2)x³ + Cx ), que es la expresión de la solución general explícita de la ecuación diferencial de tu enunciado.

Observa que con la sustitución que hemos empleado pudimos resolver una ecuación diferencial homogénea por medio de una que no es homogénea.

Espero haberte ayudado.

A vr si consigo explicartelo

Te doy mi opinión: relaciona el "Mundo de las Formas" con el "Mundo de las Ecuaciones", tienes con ella que para cada curva que estudias te la vincula con una ecuación que la describe.

• «El Álgebra no es más que Geometría expresada en fórmulas y la Geometría no es más que Álgebra abstracta dibujada». (SOPHIE GERMAIN)

En matemática se distinguen dos tipos de proposiciones: axiomas lógicos y postulados.

Un postulado es una proposición no evidente por sí misma, ni demostrada, pero que se acepta ya que no existe otro principio al que pueda ser referida. Si la proposición se considera evidente y es aceptada sin demostración previa, se denomina axioma.

Un axioma es una proposición tan clara y evidente que se admite sin necesidad de demostración y constituye uno de los principios fundamentales e indemostrables sobre los que se construye una teoría. Del axioma se infieren otras proposiciones por medio del método deductivo, de lo cual se obtienen conclusiones de la teoría, coherentes con el axioma.

Por ejemplo, la geometría de Lobachevski es un modelo de geometría que satisface solo los cuatro primeros postulados de la geometría euclidiana. Aunque es similar en muchos aspectos y muchos de los teoremas de la geometría euclidiana siguen siendo válidos en dicha geometría, no se satisface el quinto postulado de Euclides sobre las paralelas: "...Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos ángulos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos".

Un teorema es una afirmación que puede ser demostrada como verdadera dentro de un marco lógico, a partir de axiomas u otros teoremas. 

En Matemáticas, un teorema es toda proposición que partiendo de un supuesto (hipótesis), afirma una verdad (tesis) no evidente por sí misma. Un teorema generalmente posee un número de premisas que deben ser enumeradas o aclaradas de antemano. Luego existe una conclusión, una afirmación lógica o matemática, la cual es verdadera bajo las condiciones dadas. El contenido informativo del teorema es la relación que existe entre las hipótesis y la tesis o conclusión.

Un lema es una afirmación que es necesario establecer durante la demostración de un teorema. Sin embargo, la distinción entre teoremas y lemas es arbitraria, al punto que para algunos autores ciertos lemas son tan importantes que deberían ser considerados teoremas; por ejemplo, el lema de Gauss.

Un corolario es una proposición que no necesita prueba particular, sino que se deduce fácilmente de lo demostrado antes, por ejemplo, de un teorema.

Una conjetura se refiere a una afirmación que se supone cierta, pero que no ha sido probada ni refutada. Una vez que se demuestra la veracidad de una conjetura, esta pasa a ser considerada un teorema de pleno derecho y puede utilizarse como tal para construir otras demostraciones formales.

Un escolio simplemente es una aclaración o un comentario.

Pon foto del enunciado original, Sergio.

Observa que el punto A(0,1) pertenece a la curva (observa que sus coordenadas verifican su ecuación), y como es el punto de contacto, también pertenece a la recta tangente.

Luego, plantea la ecuación de la recta tangente con pendiente m (cuyo valor debes determinar), que pasa por el punto de contacto:

y = mx + 1 (1).

Luego, derivas implícitamente con respecto a x en la ecuación de la curva, y queda:

4x³ - 2xy² - 2x²y*y ' + 4y³*y ' = 0,

luego, evalúas para el punto de contacto A(0,1), y queda:

4*y ' = 0 (2).

Luego, planteas la condición de tangencia:

y ' = m (3);

sustituyes la expresión señalada (3) en la ecuación señalada (2), y queda:

4*m = 0, haces pasaje de factor como divisor, y queda:

m = 0, que es el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto de contacto A(0,1);

luego, reemplazas el valor remarcado en la ecuación de la recta tangente señalada (1), y queda:

y = 1, que es la ecuación de la recta tangente a la curva que pasa por el punto de contacto A(0,1) (observa que todos los puntos de corte entre la curva y la recta tangente tendrán ordenadas iguales a 1).

Luego, a fin de determinar los demás puntos de corte de la recta tangente con la curva, reemplazas el último valor remarcado en la ecuación de la curva, y queda:

x⁴ - x² + 1 = 1, haces pasaje de término (observa que tienes cancelaciones), y queda:

x⁴ - x² = 0, extraes factor común, y queda:

x²(x² - 1) = 0, factorizas el agrupamiento, y queda:

x²(x + 1)(x - 1) = 0, luego, por anulación de un producto, tienes tres opciones:

a)

x² = 0, haces pasaje de potencia como raíz, y queda: x = 0, que corresponde al punto de contacto: A(0,1);

b)

x + 1 = 0, haces pasaje de término, y queda: x = -1, que corresponde al punto de corte: B(-1,1);

c)

x - 1 = 0, haces pasaje de término, y queda: x = 1, que corresponde al punto de corte: C(1,1).

Espero haberte ayudado.

Tienes que ir al foro de Física.

Si tomamos estas funciones:

g(x)= x(x-1)= x²-x   ------->          f´(x)=  2x-1   ----> f´(0)= -1 = -(1!)

h(x)= [x(x-1)]*(x-2)=(x²-x)*(x-2)= x³-2x²-x²+2x  ----->  f´(x)= 3x²-4x-2x+2  ----->    f´(0)= 2 = 2!

i(x)= [x(x-1)*(x-2)]*(x-3)= (x³-2x²-x²+2x)*(x-3)= x⁴-3x³-2x³+6x²-x³+3x²+2x²-6x   ----->    f´(0)= -6 = -(3!)

j(x)=  [x(x-1)*(x-2)*(x-3)]*(x-4)  ------------------------------------------------------------------------> f´(0)= 24= 4!

.

.

f(x)= [x(x-1)*(x-2)*(x-3)]*(x-4)* ........*(x-50)  --------------------------------------------------------> f´(0)=  50!

f´(0)= 50!=  30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000

(diagonal)² = 20²+ 15²

(diagonal)² = 400+ 225

(diagonal)² = 625    

diagonal= √625

diagonal= 25 metros

Piensa que si se plantan:

Dos árboles hay que dejar "una separación" de 25/1 metros (como máximo)

tres árboles hay que dejar "dos separaciones" de 25/2 metros

cuatro árboles hay que dejar "tres separaciones" de 25/3 metros

.

.

14 árboles hay que dejar "13 separaciones" de 25/13

Por lo tanto, la distancia que debe separar cada árbol para que todos disten lo mismo colocados en una de las diagonales es de 25÷13 = 1.923 metros o menos 

** o menos distancia de 1,923 metros entre árbol y árbol si no aprovechamos toda la diagonal, ya que el enunciado no dice nada acerca de esto...en la práctica es casi seguro que no podrás plantar en la propia valla un árbol, en cambio sí tendría más sentido plantar los de los extremos a un metro de la alambrada si la hubiere: serían 23/13 metros de separación en lugar de 25/13 y sería válida la solución si lo comentas/justificas en tu solución.

Recuerda las propiedades de los determinantes:

1) Un factor común en una fila (o columna) puede ser extraído fuera del determinante.

2) A una fila (o columna) se le puede sumar o restar otra fila (o columna), y el valor del determinante no se altera.

3) Si una fila (o columna) es múltiplo escalar de otra fila (o columna), el determinante es igual a cero.

4) Si un determinante es triangular (superior o inferior), su valor es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.

Extraes factor común a en la primera fila, b en la segunda y c en la tercera, y queda:

β = abc*A (1),

donde A es el determinante:

A = 

a   a+1   a+2

b   b+1  b+2

c   c+1   c+2,

a la segunda columna le restas la primera columna, a la tercera columna le restas la primera columna, y queda:

A = 

a   1   2

b   1   2

c   1   2 = 0,

porque la tercera columna es múltiplo escalar de la segunda columna.

Luego, reemplaza en la ecuación señalada (1), y queda:

β = abc*0 = 0.

Luego, el determinante D queda:

D = 

α   0   0

α   α   0

α   α   α = observa que es un determinante triangular inferior = α³,

y solo queda que reemplaces el valor α que tienes calculado y expreses el resultado.

Espero haberte ayudado.