Plantea la descomposición en fracciones parciales:
(4x2-2x) / (x+2)(x-3)2 = a/(x+2) + b/(x-3) + c/(x-3)2 = ( a(x-3)2 + b(x+2)(x-3) + c(x+2) ) / (x+2)(x-3)2.
Luego, por igualdad entre expresiones algebraicas fraccionarias, igualas los numeradores remarcados, y queda:
a(x-3)2 + b(x+2)(x-3) + c(x+2) = 4x2-2x,
aquí tienes una igualdad entre expresiones polinómicas, por lo que puedes evaluar para tres valores, por ejemplo:
x = 3, x = - 2 (observa que estos dos son muy convenientes) y x = 0, y queda el sistema de ecuaciones:
5c = 30, aquí haces pasaje de factor como divisor, y queda: c = 6;
25a = 20, aquí haces pasaje de factor como divisor, y queda: a = 4/5;
9a - 6b + 2c = 0, reemplazas los valores remarcados, y queda: 36/5 - 6b + 12 = 0,
multiplicas en todos los términos de la ecuación por 5/6, y queda:
6 - 5b + 10 = 0, reduces términos semejantes, haces pasaje de término, y queda: - 5b = - 16,
aquí haces pasaje de factor como divisor, y queda: b = 16/5.
Luego, la integral queda:
I = ∫ ( (4x2-2x) / (x+2)(x-3)2 )*dx = (4/5)*∫ dx/(x+ 2) + (16/5)*∫ dx/(x-3) + 6*∫ dx/(x-3)2,
luego, integras término a término, y queda:
I = (4/5)*ln|x+2| + (16/5)*ln|x-3| - 6/(x-3) + C.
Espero haberte ayudado.
