Te ayudamos con los puntos críticos y los posibles puntos de inflexión.
Debes tener en cuenta las identidades trigonométricas:
cosa + cosb = 2*cos( (b+a)/2 )*cos( (b-a)/2 ) (1).
sen(2a) = 2*sena*cosa (2).
Plantea las expresiones de las funciones derivadas primera y segunda:
G ' (t) = (150π/6)*cos(π*t/6) + (75π/3)*cos(π*t/3) = (25π)*cos(π*t/6) + (25π)*cos(π*t/3) =
= (25π)*( cos(π*t/6) + cos(π*t/3) ).
G ' ' (t) = (25π)*( -(π/6)*sen(π*t/6) - (π/3)*sen(π*t/3) = -(25π2/6)*( sen(π*t/6) + 2*sen(π*t/3) ).
1)
Plantea la condición de punto crítico:
G ' (t) = 0, sustituyes, y queda:
(25π)*( cos(π*t/6) + cos(π*t/3) ) = 0, haces pasajes de factores como divisores, y queda:
cos(π*t/6) + cos(π*t/3) = 0, aplicas la identidad de transformación en producto señalada (1), y queda:
2*cos(π*t/4)*cos(π*t/12) = 0, haces pasaje de factor como divisor, y queda:
cos(π*t/4)*cos(π*t/12) = 0, luego, por anulación de un producto, tienes dos opciones:
1A)
cos(π*t/4) = 0, compones en ambos miembros con la función inversa del coseno, y queda:
π*t/4 = (2k+1)π/2, con k ∈ N, multiplicas en ambos miembros por 4/π, y queda:
t = 2(2k+1), con k ∈ N (observa que los primeros valores son: 2, 6, 10, 14, ...);
1B)
cos(π*t/12) = 0, compones en ambos miembros con la función inversa del coseno, y queda:
π*t/12 = (2m+1)π/2, con m ∈ N, multiplicas en ambos miembros por 12/π, y queda:
t = 6(2m+1), con m ∈ N (observa que los primeros valores son: 6, 18, 30, 42, ...).
2)
Plantea la condición de posible punto de inflexión:
G ' ' (t) = 0, sustituyes, y queda:
-(25π2/6)*( sen(π*t/6) + 2*sen(π*t/3) ), haces pasajes de factores como divisores, y queda:
sen(π*t/6) + 2*sen(π*t/3) = 0,
aplicas la identidad del seno del doble de un ángulo señalada (2) en el segundo término, y queda:
sen(π*t/6) + 4*sen(π*t/6)*cos(π*t/6) = 0, extraes factor común, y queda:
sen(π*t/6)*( 1 + 4*cos(π*t/6) ) = 0, luego, por anulación de un producto, tienes dos opciones:
2A)
sen(π*t/6) = 0, compones en ambos miembros con la función inversa del seno, y queda
π*t/6 = pπ, con p ∈ N, multiplicas en ambos miembros por 6/π, y queda:
t = 6p, con p ∈ N (observa que los primeros valores son: 0, 6, 12, 18, 24, ...);
2B)
1 + 4*cos(π*t/6) = 0, haces pasaje de término, y luego de factor como divisor, y queda:
cos(π*t/6) = -1/4, compones en ambos miembros con la función inversa del coseno, y tienes dos opciones:
2B1)
π*t/6 ≅ 0,580π + 2qπ, con q ∈ N (en el segundo cuadrante), multiplicas en ambos miembros por 6/π, y queda:
t ≅ 3,483 + 12q, con q ∈ N;
2B2)
π*t/6 ≅ 1,420π + 2wπ, con w ∈ N (en el tercer cuadrante), multiplicas en ambos miembros por 6/π, y queda:
t ≅ 8,517 + 12w, con w ∈ N.
Espero haberte ayudado.
