A la segunda fila le sumas la primera fila, a la tercera fila le restas el doble de la primera fila, y queda:

1        2        0        k        

0        k       -3       2k    

0       -1      k-2    4-2k

A la tercera fila la multiplicas por -1, y queda:

1          2          0          k        

0          k         -3         2k    

0          1       -k+2    -4+2k

Permutas la segunda fila con la tercera fila, y queda:

1          2          0          k    

0          1       -k+2    -4+2k

0          k         -3         2k

A la tercera fila le restas la segunda fila multiplicada por k, y queda:

1          2            0                   k    

0          1         -k+2             -4+2k

0          0      -3+k²-2k         6k-2k²

Observa que tienes una matriz escalonada equivalente por filas a la matriz de tu enunciado, luego factorizas las expresiones de los términos literales, y queda:

1          2            0                   k    

0          1         -(k-2)             2(k-2)

0          0      (k-3)(k+1)        -2k(k-3)

Luego, tienes cinco casos para considerar:

1°) 

k = 2,

reemplazas y la matriz queda:

1          2       0        2    

0          1       0        0

0          0      -3        4

y tienes que la matriz escalonada tiene tres filas no nulas, por lo que el rango de la matriz es 3 en este caso;

2°)

k = 3,

reemplazas y la matriz queda:

1          2            0           3    

0          1           -1           2

0          0            0           0

y tienes que la matriz escalonada tiene dos filas no nulas, por lo que el rango de la matriz es 2 en este caso;

3°)

k = -1,

reemplazas y la matriz queda:

1          2           0        -1    

0          1           3        -6

0          0           0        -8

y tienes que la matriz escalonada tiene tres filas no nulas, por lo que el rango de la matriz es 3 en este caso;

4°)

k = 0,

reemplazas y la matriz queda:

1          2       0         0    

0          1       2       -4

0          0      -3        0

y tienes que la matriz escalonada tiene tres filas no nulas, por lo que el rango de la matriz es 3 en este caso;

5°)

k ≠ 2, k ≠ 3, k ≠ -1 y k ≠ 0, 

tienes que la matriz escalonada tiene tres filas no nulas (observa que no se anulan los elementos literales), por lo que el rango de la matriz es 3 en este caso.

Espero haberte ayudado.

y el -2 +2 de donde aparece? xq no está en la ecuación...

Otra manera:

y=2x+3

Restamos 5 a cada lado de la ecuación (al restar en las dos partes por igual no alteramos los valores ni de x ni de y)

y-5=2x+3-5

Efectuamos la resta 3-5 de la parte derecha

y-5=2x-2

Sacamos factor común 2 en el lado derecho

y-5=2(x-1)

**Puedes ver en ambos procedimientos que usamos como elementos auxiliares los números 5 ó 2 para transformar las ecuaciones en otra equivalente pero con otra forma.

Gracias. Eso lo entiendo. Pero como ves ese procedimeiento? Es decir igual que hemos hecho -5 podriamos haber hecho 30x o 40, no se si me explico... 

Ecuación original:    y=2x+3

Ecuación objetivo: y-5=2(x-1)

¿Qué podemos hacer para que la original y=2x+3  se parezca a la objetivo?

Por ejemplo restarle 5 a ambos miembros y así la parte izquierda será igual

y-5=2x+3-5    ------------>  y-5=2x-2

¿Qué podemos hacer para que y-5=2x-2 sea como la objetivo?

Sacando factor común en la parte derecha

y-5=2x-2   ------->   y-5=2(x-1)  <------Objetivo

Perdona. Es que creo que no he escrito toda la información. Se nos presentan las 3 ecuaciones como equivalentes. No se nos pide pasar de una a la otra. Eso lo pido yo xq no se como hubieses llegado a predecir esa. Es decir sin tener la tercera ecuación nunca hubieras llegado a ella no? xq las posibilidades equivalentes son infinitas, verdad?

Disculpa César por qué utilizas la recta bisectriz?

Acá tienes un dibujo de ambos casos , la circunferencia de rojo y la de negro .
La de rojo está en la región "más amplia" y la otra en la región "más angosta "

Un avance!!!

Observa que para que la función esté definida debe cumplirse:

1 - x² ≥ 0, haces pasaje de término, y queda:

- x² ≥ - 1, multiplicas por -1 en ambos miembros de la inecuacion (observa que cambia la desigualdad), y queda:

x² ≤ 1, haces pasaje de potencia (observa que el exponente es par) como raíz, y queda:

|x| ≤ 1, que expresada como intervalo queda:

D = [ -1 , 1 ], que es el dominio de la función.

Luego, tienes la expresión de la función:

f(x) = x*√(1 - x²),

y observa que para x = -1, x = 0, y x = 1, tienes que la función toma el valor cero,

y observa también que el segundo factor de la expresión es positivo,

por lo que tienes que la función toma valores negativos en el intervalo ( -1 , 0 ), y toma valores positivos en el intervalo: ( 0 , 1 ).

Luego, plantea la expresión de la función derivada (observa que debes aplicar la regla del producto y la regla de la cadena:

f ' (x) = 1*√(1 - x²) + x*( -x/√(1 - x²)  ), resuelves signo y factores en el numerador del segundo término, y queda:

f ' (x) = √(1 - x²) - x²/√(1 - x²), extraes denominador común, y queda:

f ' (x) = (1 - x² - x²)/√(1 - x²), reduces términos semejantes en el numerador, y queda:

f ' (x) = (1 - 2x²)/√(1 - x²) (observa que la función derivada no está definida en x = -1 y en x = 1),

luego, plantea la condición de punto crítico (posible máximo o posible mínimo):

f ' (x) = 0, sustituyes y queda:

(1 - 2x²)/√(1 - x²) = 0, haces pasaje de divisor como factor, y queda:

1 - 2x² = 0, haces pasaje de término, y queda.

- 2x² =  - 1, haces pasaje de factor como divisor, y queda:

x² = 1/2, haces pasaje de potencia como raíz y tienes dos opcioes:

x₁ = -1/√(2)  ≅ - 0,707 y x₂ = 1/√(2) ≅ 0,707.

Luego, divides al dominio en subintervalos, en cada uno de ellos eliges un representante y evalúas el signo de la función derivada primera:

( -1 , -1/√(2) ), representado por x = -0,8, y para él tienes: f ' (0,8) = -0,28/0,6 < 0, por lo que tienes que la función es decreciente en este subintervalo;

( -1/√(2) , 1/√(2) ), representado por x = 0, y para él tienes: f ' (0) = 1 > 0, por lo que tienes que la función es creciente en este subintervalo;

( 1/√(2) , 1 ), representado por x = 0,8, y para él tienes: f ' (0,8) = -0,28/0,6 < 0, por lo que tienes que la función es decreciente en este subintervalo.

Espero haberte ayudado.

Está que ponga la monotonía así:

Decreciente:  ( -1 , -1/√(2) )U ( 1/√(2) , 1 )

¿y los máximos y mínimos?

Está bien poner la monotonía así, aunque está mejor (en general) obtener una fracción equivalente sin radicales en el denominador (lo que comúnmente se llama racionalizar)          1/√(2)=    1/√(2)*(√2/√2)   =  √(2)/2

Decreciente:

 (-1, -√(2)/2) ∪ (√(2)/2, 1)

Creciente:

( -√(2)/2, √(2)/2 )

Puedes expresar a la proposición de tu enunciado:

P(n): "3²ⁿ - 2ⁿ = 7*t, con t ∈ Z y n ∈ N".

Luego, pasas a aplicar el Principio de Inducción Completa:

1°)

P(0): 3^2*0 - 2⁰ = 3⁰ - 1 = 1 - 1 = 0 = 7*0, y 0 ∈ N, que es Verdadera.

2°)

P(h): "3^2h - 2^h = 7*t₁, con t₁ ∈ Z y n ∈ N", que es la Hipótesis Inductiva que se acepta como Verdadera.

3°)

P(h+1): "3^2*(h+1) - 2^h+1 = 7*t₂, con t₂ ∈ Z y n ∈ N", que es la Tesis Inductiva que debe ser demostrada.

4°)

Demostración:

P(h+1):

3^2*(h+1) - 2^h+1 = distribuyes el exponente en e primer término:

= 3^2h+2 - 2^h+1 = aplicas la propiedad del producto de potencias con bases iguales en el primer término:

= 3^2h * 3² - 2^h+1 = resuelves el factor numérico y ordenas factores en el primer término:

= 9*3^2h - 2^h+1 = restas y sumas 2^h en el segundo factor del primer término:

= 9*( 3^2h - 2^h + 2^h ) - 2^h+1 = aplicas la Hipótesis Inductiva y sustituyes los términos remarcados:

= 9*( 7*t₁ + 2^h ) - 2^h+1 = distribuyes el primer término y aplicas la propiedad del producto de potencias con bases iguales en el segundo término:

= 63*t₁ + 9*2^h - 2^h*2  = reduces los dos últimos términos (observa que son semejantes):

= 63*t₁ + 7*2^h = extraes factor común:

= 7*( 9*t₁ + 2^h ), luego puedes plantear:

t₂ = 9*t₁ + 2^h,

y tienes que t₂ es un número entero porque es suma de dos términos: el primero es un producto de números enteros, y el segundo es una potencia con base entera y exponente natural, por lo que tienes que la Tesis Inductiva es Verdadera.

Espero haberte ayudado.

¡Hola! Nos encantaría ayudarte, pero no solemos responder dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los vídeos que David Calle ha grabado como excepción. O de otras asignaturas que no sean Matemáticas, Física y Química. Lo sentimos de corazón… Esperamos que  lo entiendas.

Ojalá algún unicoo universitario se anime a ayudarte (de hecho, lo ideal es que todos los universitarios intentarais ayudaros los unos a los otros).

Tienes una población de 10 ejecutivos, y se deben elegir 4 para promoverlos, por lo tanto tienes C(10,4) = 210 maneras de elegirlos sin condiciones.

Luego, tienes las variables aleatorias:

X₁: "cantidad de ejecutivos casados promovidos", y observa que puede tomar los valores: 0, 1, 2, 3 o 4;

X₂: "cantidad de ejecutivos solteros promovidos", y observa que puede tomar los valores: 0, 1, 2, 3 o 4.

Luego, si los dos divorciados forman parte de los ejecutivos promovidos, tienes las siguientes formas de elección (observa que indicamos las expresiones correspondientes de la distribución conjunta):

CCDD, que corresponde a: P(2,0) = C(4,2)*C(4,0) / C(10,4) = 6*1 / 210 = 1/35,

CSDD, que corresponde a: P(1,1) = C(4,1)*C(4,1) / C(10,4) = 4*4 / 210 = 8/105,

SSDD, que corresponde a: P(0,2) = C(4,0)*C(4,2) / C(10,4) = 1*6 / 210 = 1/35;

luego, por el principio de adición tienes que la probabilidad de elegir un grupo para promoción con dos ejecutivos divorciados queda:

p = 1/35 + 8/105 + 1/35 = 14/105 = 2/15.

Espero haberte ayudado.