Tienes la inecuación:

x/(x²+1) + 1/(2x) ≥ 1,

extraes denominador común en el primer miembro, y queda:

(2x²+x²+1) / ( 2x(x²+1) ) ≥ 1,

reduces términos semejantes en el numerador del primer miembro, y queda:

(3x²+1) / ( 2x(x²+1) ) ≥ 1,

haces pasaje de divisores positivos como factores, y queda:

(3x²+1) / x ≥ 2(x²+1),

luego, tienes dos opciones:

a)

si x > 0, haces pasaje de divisor como factor (observa que no cambia la desigualdad), y queda:

3x²+1 ≥ 2x(x²+1), distribuyes en el segundo miembro, y queda:

3x²+1 ≥ 2x³ + 2x, haces pasajes de términos, ordenas términos, y queda:

-2x³ + 3x² - 2x + 1 ≥ 0, multiplicas en todos los términos de la inecuación por -1 (observa que cambia la desigualdad), y queda:

2x³ - 3x² + 2x - 1 ≤ 0, observa que 1 es raíz de la expresión polinómica del primer miembro, factorizas por medio de la Regla de Ruffini, y queda:

(x-1)*(2x²-x+1) ≤ 0,

observa que la expresión polinómica del segundo factor no tiene raíces reales, y como su coeficiente principal es positivo, tienes que toma valores estrictamente mayores que cero, luego haces pasaje de factor como divisor (observa que no cambia la desigualdad), y queda:

x - 1 ≤ 0, haces pasaje de término, y queda:

x ≤ 1,

por lo que el intervalo solución queda:

I_a = (0,1];

b)

si x < 0, haces pasaje de divisor como factor (observa que si cambia la desigualdad), y queda:

3x²+1 ≤ 2x(x²+1), distribuyes en el segundo miembro, y queda:

3x²+1 ≤ 2x³ + 2x, haces pasajes de términos, ordenas términos, y queda:

-2x³ + 3x² - 2x + 1 ≤ 0, multiplicas en todos los términos de la inecuación por -1 (observa que cambia la desigualdad), y queda:

2x³ - 3x² + 2x - 1 ≥ 0, observa que 1 es raíz de la expresión polinómica del primer miembro, factorizas por medio de la Regla de Ruffini, y queda:

(x-1)*(2x²-x+1) ≥ 0,

observa que la expresión polinómica del segundo factor no tiene raíces reales, y como su coeficiente principal es positivo, tienes que toma valores estrictamente mayores que cero, luego haces pasaje de factor como divisor (observa que no cambia la desigualdad), y queda:

x - 1 ≥ 0, haces pasaje de término, y queda:

x ≥ 1,

por lo que el intervalo solución queda:

I_a = ∅;

luego, planteas la unión de los dos intervalos, y el conjunto solución de la inecuación queda:

S = (0,1].

Espero haberte ayudado.

Por sustitución trigonométrica Oscar.

Adjunta una imagen del enunciado original. 

Cuando "n" tiende a ... ¿?

Te ayudo con los dos primeros.

1)

Tratamos al numerador (N) y al denominador (D) por separado:

N = -6x² + 20x - 6 = -2(3x² - 10x + 3) = -2(x-3)(x-1/3);

D = (x² - 6x + 9)² = ( (x-3)² )² = (x-3)⁴;

luego, sustituyes en la expresión del enunciado, y queda:

-2(x-3)(x-1/3) / (x-3)⁴ = simplificas = -2(x-1/3) / (x-3)³.

2)

Comienza por plantear el límite:

Lím(x→0) f(x) = Lím(x→0) (x²+4x+3)/x² = ∞ (observa que el numerador tiende a tres y que el denominador tiende a cero),

por lo que tienes que la recta de ecuación: x = 0 es asíntota vertical de la gráfica de la función;

luego, distribuyes el denominador, simplificas, y la expresión de la función queda:

f(x) = 1+ 4/x + 3/x²;

luego, plantea el límite:

Lím(x→∞) f(x) = Lím(x→∞) (1+ 4/x + 3/x²) = 1 (observa que los dos últimos términos tienden a cero),

por lo que tienes que la recta de ecuación y = 1 es asíntota horizontal de la gráfica de la función.

Espero haberte ayudado.

b(x) = x·p(x) - c(x)

Muchas gracias Antonio, ya me ha salido. Una cosa multiplicas la x por el precio, porque te la da por una unidad no?

claro

No sale nada...¿cuál es el desafío?

Muy bien, pero simplifica aún más el resultado

entendido . Pero como llegas a ese razonamiento? Es decir, como puedes decir que -h=a ?  tanto h como a ya existen. Y nada me dice que sean iguales

La función tiene una asíntota horizontal en y=0.

Lo demás está bien.

 Veo que mi problema está en la derivada.

Es que yo he derivaro esto así   (1/ x^{2      por raíz de 2x )          por  2x   por   2x elevado a -0,5}

¿Como lo has derivado tu?

La derivada de esto, me refiero