Comienza por plantear la integral indefinida:

∫ ( (x-1)/3 )*dx = (1/3)* ∫ (x - 1)*dx = (1/3)*(x²/2 - x) + C = (1/6)*x² - (1/3)*x + C.

Luego, plantea la integral definida entre 1 y un valor genérico a (observa que indicamos con corchetes que debemos evaluar con Regla de Barrow):

₁∫^a ( (x-1)/3 )*dx = [(1/6)*x² - (1/3)*x] = ( (1/6)*a² - (1/3)*a ) - (1/6 - 1/3) = (1/6)*a² - (1/3)*a + 1/6 (1).

Luego, plantea el límite de la expresión señalada (1) para x tendiendo a +infinito, y la integral impropia queda:

₁∫^+∞ ( (x-1)/3 )*dx = Lím(x→+∞) ( (1/6)*a² - (1/3)*a + 1/6 ) =  Lím(x→+∞) ( a²*( 1/6 - (1/3)*(1/a) + (1/6)*(1/a²) ) = +∞,

por lo que tienes que la integral impropia de tu enunciado es divergente.

Espero haberte ayudado.

Recuerda la expresión de la función parte entera:

[x] = n, con x ∈ Z, n ∈ N, n ≤ x < (n+1).

Considera x = a, con a ∈ Z, y observa que para él tienes:

[a] = a,

Lím(x→a-) [x] = a - 1,

y Lím(x→a+) = [x] = a.

Luego, plantea la definición de continuidad:

1°)

f(a) = [a] + √(a - [a]) = a + √(a - a) = a + √(0) = a + 0 = a;

2°)

Límites laterales:

Lím(x→a-) f(x) = Lím(x→a-) ( [x] + √(x - [x]) ) = a - 1 + √( a - (a - 1) ) = a - 1 + √(a - a + 1) = a - 1 + √(1) = a - 1 + 1 = a,

Lím(x→a+) f(x) = Lím(x→a+) ( [x] + √(x - [x]) ) = a + √(a - a) = a + √(0) = a + 0 = a,

luego, tienes que los límites laterales son iguales, por lo tanto tienes:

Lím(x→a) f(x) = a;

3°)

f(a) = Lím(x→a) f(x) = a, por lo tanto la función es continua para todo elemento a perteneciente al conjunto de los números enteros.

Luego, observa que la función parte entera es continua para todo elemento x real que no sea entero, por lo que tienes que la función es continua, ya que es suma de funciones continuas, y la expresión del argumento de la raíz cuadrada es resta de expresiones de funciones continuas, y es siempre mayor que cero para estos valores.

Espero haberte ayudado.

Gracias.

Gracias.

Pon foto de la ecuación original, Alan.

Ahí pude colocarle la foto. Lamento no haberla puesto al principio.

Tienes la expresión de la función:

f(x) = 2^x+4 + 2, 

y observa que su expresión es suma de expresiones de funciones continuas en el conjunto de los números reales:

en el primer término tienes la expresión de la composición de una función polinómica con una función exponencial con base 2, por lo que el primer término es la expresión de una función continua, y en el segundo término tienes la expresión de una función continua.

Luego, puedes llamar y al elemento genérico de la imagen de la función, por lo tanto tienes:

f(x) = y, sustituyes en el primer miembro, y queda:

2^x+4 + 2 = y, haces pasaje de término, y queda:

2^x+4 = y - 2, compones en ambos miembros con la función logarítmica natural, y queda:

(x+4)*ln(2) = ln(y-2), haces pasaje de factor como divisor, y queda:

x + 4 = ln(y-2)/ln(2), haces pasaje de término, y queda:

x = ln(y-2)/ln(2) - 4;

luego, observa que para que la expresión del segundo miembro tome valores reales debe cumplirse:

y - 2 > 0, haces pasaje de término y queda:

y > 2, por lo que tienes que la imagen de la función es el intervalo: Im(f) = ( 2 , +∞ ).

Espero haberte ayudado.

En realidad, la expresión es F(x): 2^x-4+2, pero bueno, no cambia tanto el ejercicio en sí.

La parte de Y la entendí, el tema es que no sabría como expresar que el Dominio de F puede ser cualquier número real. ¿Con sólo poner la función se sabe ello sabiendo dónde está el exponente X?

Gracias por la ayuda, por cierto.

Hola Alan, te recomiendo poner una foto algo más detallada así se comprende bien el ejercicio.

Saludos!!!

La Valoración fue accidental, pero acá tengo una foto del ejercicio como era realmente.

¿La foto se ve?

Estuviste muy cerca; recuerda: x^n = n*x^(n-1)

PD: si quieres tengo resueltos los ejercicios de tu pregunta anterior

si por favor para poder comprobar

1,2 y 3 están bien; los demás no.

son indeterminaciones del tipo 0/0 tienes que utilizar la factorización de polinomios 

PD: intenta poner la foto paralela la próxima

Saludos!!!