El a) lo veo bien.

El b) creo que siguiendo la fórmula que has puesto, quedaría:

V= π 1∫0 [2x-(x/2)]2 dx = π 1∫0 [(3x)/2]2 dx = π 1∫0 [(9x2)/22)]dx =  π* 1∫0 [(9x2)/4)]dx = π*9/4* 1∫0 x²dx  = π*9/4*(1³-0³) =  = (9π)/4 u3

Identidad trigonométrica: Se verifica en todos los valores de ℛ

Ecuación trigonométrica: No se verifica en todos los valores de ℛ

Sólo hay una manera de verificar una identidad: que se cumplan todos los valores de ℛ

Si tu solución fuera correcta (que no lo es) habría que decir que la identidad es falsa, es más: lo correcto sería apuntar también que es una ecuación que se cumple en ciertos valores.

La solución de Antonio lleva a la conclusión de que es SI una identidad (en su definición lleva implícita que es verdadera)

Tu solución te llevaría a que es una ecuación trigonométrica (falsa para algunos valores) y entonces NO sería una identidad

Por lo tanto:

Las dos soluciones no pueden ser ciertas a la vez, pues sería del todo contradictorio/absurdo.

Por ser polinómica de tercer grado, el dominio es toda la recta real y el recorrido también.

El enunciado se puede interpretar de 3 maneras diferentes, así que concreta un poco más:

¿Las regiones correspondientes a 1. y 2. cómo se definen: ¿con la intersección o la unión de parejas?

¿O por separado? (dos regiones en cada pareja)

El enunciado es este. Yo lo interpreto como un sistema de inecuaciones con las parejas de inecuaciones y, por tanto, como la intersección de parejas.

x²+y²>1, x²+y²<4  =  x²+y²>1   ∩   x²+y²<2²

La región de ℛ que queda fuera del círculo (y de su propia circunscripción) de radio 1 con origen (0,0), excluyendo  de ésta el área que queda fuera del círculo de radio 2 con origen (0,0) y su área de trazado (queda como un donuts de anchura la unidad, sin incluir los bordes)

x²+y²≤4, (x+2)²+y²≤4    ------->   (x-0)²+(y-0) ²≤  2²   ∩   [x-(-2)]+(y-0) ≤ 2²

La región de ℛ que está dentro del círculo (y de su propia circunscripción) de radio 2 con origen (0,0),  que coincide con el área que está dentro y en el trazado del círculo de radio 2 con origen (-2,0) 

(la región comprendida por esas inecuaciones la tienes marcada con cuadros negros)