Vamos con una sugerencia: intenta reducir el orden del determinante.

observa que si al inicio haces la operación elemental: F3→F3+F1, lo elementos del determinante quedan:

-1   0   0  -1   1

 1  -1   0   0   0

-1   1   1  -1   0

 a   0   0  -d   0

 0   b  -c   0   0

Y observa que puedes desarrollar el determinante siguiendo su última columna, y que quedará un determinante de orden 4 con el que deberás continuar la tarea,

cuyos elementos son:

 1  -1   0   0   

-1   1   1  -1   

 a   0   0  -d   

 0   b  -c   0   

Luego, desarrolla el determinante siguiendo su última fila, y observa que quedan dos términos con determinantes de orden tres, con lo que puedes continuar la tarea.

Haz el intento, y si te resulta necesario, no dudes en volver a consultar.

Espero haberte ayudado.

Observa que el argumento de la integral es una expresión algebraica fraccionaria, cuyo denominador (D) no tiene raíces reales.

Luego, debes completar un binomio elevado al cuadrado en el denominador:

D = x² + x + 1 = sumas y restas 1/4 = x² + x + 1/4 + 1 - 1/4, factorizas el trinomio cuadrado perfecto, reduces términos numéricos y queda:

D = (x + 1/2)² + 3/4.

Luego, observa que la integral queda:

I = ∫ 3/(x² + x + 1) dx =  ∫ 3/( (x + 1/2)² + 3/4 ) dx.

Luego, aplicas la sustitución (cambio de variable):

w = x + 1/2 (1), de donde tienes: dw = dx, luego sustituyes y la integral queda:

I = ∫ 3/(w² + 3/4) dw,

Y esta nueva integral se resuelve por medio de la sustitución (cambio de variable):

w = √(3/4)p (2), de donde tienes: dw = √(3/4)dp, y también tienes: w² + 3/4 = (3/4)p² + 3/4 = (3/4)(p² + 1),

luego sustituyes, extraes factores constantes y queda:

I = 3*(4/3)*√(3/4) ∫ 1/(p² + 1) dp = 4*√(3/4)*arctan(p) + C = 2*√(3)*arctan(p) + C.

Luego, solo queda que vuelvas a la ecuación señalada (2) para despejar p en función de w y sustituir,

para luego volver a la ecuación señalada (1) y hacer lo propio con w en función de x (te dejo la tarea).

Espero haberte ayudado.

Antonio, ¿podría hacerlo así también? Muchas gracias. 

Si, es correcto tu planteo, pero observa que has omitido la barra de división en el numerador del argumento de la integral en tu última línea.

Luego, queda que plantees la sustitución (cambio de variable):

t = (2x+1)/√(3), de donde tienes: dt = ( 2/√(3) )dx. de donde despejas: (√(3)/2)dt = dx,

y puedes continuar la tarea.

Espero haberte ayudado.

Sí, me ha faltado la barra de divisón en el numerador. Pero aún así poniendola, como la derivada está en el numerador 

ya pongo lo de arriba del todo, es tipo arcotangente, ¿no?

Observa que ya tienes planteado que el determinante de la matriz del sistema es igual a 0 solamente para λ = 0 o λ = 2. 

Por lo tanto, para cualquier otro valor de λ (por ejemplo λ = 1) tienes que el determinante de la matriz del sistema es igual a 3,

por lo que tienes que el rango de la matriz del sistema es igual a 3 e igual al rango de la matriz ampliada,

por lo que el sistema resulta compatible, y como los rangos coinciden con la cantidad de incógnitas del sistema,

tienes que éste es compatible determinado y admite una única solución.

Espero haberte ayudado.

No se ve bien, Ignacio.

Bien, Ignacio.

¡Ojo! Al final, intercambio de filas implica cambio de signo.

Yo creo que el cambio de signo lo he hecho no?

Ambos bien.

Fijate que A^3=-I (menos la identidad). Entonces:

A^25=(A^3)^8 ·A=(-I)^8·A=I·A=A

Está perfecto.

¿En qué Universidad estudiáis esto, Sandy?