Creo que está mal transcrito. Esa ecuación, tal como está puesta, precisa métodos de aproximación para ser resuelta.

Creo que se refiere a esto:

j    0     0    0 ...

j     j     0    0 ...

j     j     0    0 ...

.     .      .     . 

.     .      .     .

.     .      .     .

Me piden el término general y no lo que has hecho tú, Antonio.

Eso seria sin la traspuesta, yo los términos generales los suelo poner con puntos suspensivos asi o sino seria emplear los sumatorios, cosa que no se si los has dado...

Antonio, me interesa el término general de la traspuesta (el término general sería como se da la matriz A (a trozos)).

Pon en un buscador de Internet "término general de la matriz" y de ahí ya te las apañas tu para encontrar lo que he buscado yo que no se si puedo poner por aquí su link...

Observa que la proposición puede enunciarse:

P(n): n² - n = 2t, con t ∈ Z, n ≥ 1.

1°)

P(1): 1² - 1 = 2t₁, resuelves el primer miembro y queda: 0 = 2t₁, de donde despejas:

0 = t₁, que pertenece a Z.

2°)

P(k): k² - k = 2t_k, con t_k ∈ Z, k ≥ 1, Hipótesis Inductiva que aceptas como Verdadera.

3°)

P(k+1): (k+1)² - (k+1) = 2t_k+1, con t_k+1 ∈ Z Tesis Inductiva que debes demostrar que es Verdadera.

4°)

Demostración:

P(k+1): (k+1)² - (k+1) = desarrollas = k² + 2k + 1 - k - 1 = cancelas términos opuestos y ordenas términos:

= k² - k + 2k = aplicas la Hipótesis Inductiva:

= 2t_k + 2k =

extraes factor común:

= 2(t_k + k) = 2t_k+1;

y observa que t_k+1 es entero por ser suma de los enteros t_k y k,

por lo que tienes que la Tesis Inductiva es Verdadera,

según el Principio de Inducción (5° Axioma de Peano).

Espero haberte ayudado.

Hay una errata en la edición del enunciado. Ya está subsanada. 

La matriz es 

Disculpa. Y gracias por la colaboración, Iván.

Muchas gracias a ti, es que no había manera de que me cuadrase nada. Gracias por la corrección. Saludos!

Uf! con esa derivada si da el resultado correcto en f'(1)! voy a tener que revisarlo bien para captar todo lo que hiciste pero muchas gracias! (dejo el resultado abajo por si alguien lo quiere resolver)

Ojo:  arctan1 =(pi)/4

Tienes que aplicar la regla de la cadena al exponente, de 3 pasa a 2, multiplicándolo adelante y luego tienes que usar la formula de la arcotangente. Hay una serie de formulas para calcular la derivada y la integral que deberías saber ya que sirven de gran ayuda y no dudaras en ninguna. Si no la tienes, en Internet hay muchas y si no te paso yo la mía.