Verdadero ya que 2<π<∞

Creo que es correcto.

Tienes las ecuaciones simétricas (o continuas) de la recta (revisa tus apuntes de clase si es preciso), que pasa por el punto E(0,2,3) y cuyo vector director es: u = <1,1,2>,

cuyas ecuaciones cartesianas paramétricas son:

x = 0 + t

y = 2 + t

z = 3 + 2t,

con t ∈ R,

con las que puedes plantear las coordenadas de un punto genérico de la recta: P( t , 2+t , 3+2t ).

a)

Plantea que las distancias del punto A al punto P y del punto B al punto P son iguales:

d(A,P) = d(B,P), eleva al cuadrado en ambos miembros y queda:

d(A,P)² = d(B,P)², sustituyes expresiones en ambos miembros y queda:

(t - 2)² + (2+t - 1)² + (3+2t-2)² = (t - 0)² + (2+t - 4)² + (3+2t - 1)², reduces términos semejantes en los agrupamientos y queda:

(t - 2)² + (t + 1)² + (2t + 1)² = t² + (t - 2)² + (2t + 2)², haces pasaje de término, cancelas términos opuestos y queda:

(t + 1)² + (2t + 1)² = t² + (2t + 2)², desarrollas términos y queda:

t² + 2t + 1 + 4t² + 4t + 1 = t² + 4t² + 8t + 4, haces pasajes de términos cuadráticos (observa que tienes cancelaciones) , reduces términos semejantes y queda:

6t + 2 = 8t + 4, haces pasajes de términos y queda:

- 2t = 2, haces pasaje de factor como divisor y queda: t = - 1;

luego reemplazas en las ecuaciones cartesianas paramétricas de la recta y tienes:

x = 0 - 1 = - 1,

y = 2 - 1 = 1,

z = 3 + 2*(-1) = 3 - 2 = 1,

y tienes que el punto M( -1 , 1 , 1 ) pertenece a la recta y equidista de los puntos A y B.

b)

Plantea el vector director de la recta es al mismo tiempo un vector normal al plano, por lo tanto tienes:

u = < 1 , 1 , 2 > es un vector normal.

Luego, plantea un vector genérico del plano, con inicio en el punto A(2,1,2) y extremo en un punto genérico P(x,y,z), por lo tanto tienes:

w = < x-2 , y-1 , z-2 > es un vector genérico del plano.

Luego, como los vectores del plano son perpendiculares a su vector normal, plantea que el producto escalar entre ellos es igual a cero, y queda:

u • w = 0, sustituyes y queda:

< 1 , 1 , 2 > • < x-2 , y-1 , z-2 > = 0, desarrollas y queda:

1*(x - 2) + 1*(y - 1) + 2*(z - 2) = 0, distribuyes y queda:

x - 2 + y - 1 + 2z - 4 = 0, reduces términos numéricos y queda:

x + y + 2z - 7 = 0, que es una ecuación cartesiana implícita del plano.

Espero haberte ayudado.

muchas gracias Antonio me has sido de gran ayuda.

Tienes que el numerador y el denominador tienden a cero cuando x tiende a 1 por la derecha.

Observa que en el argumento de la raíz cuadrada tienes una expresión polinómica cuadrática, factorizas y el numerador queda:

N = √( (x+4)*(x-1) ) = distribuyes = √(x+4)*√(x-1).

Observa que en el denominador tienes una expresión polinómica cuadrática que es una resta entre cuadrados perfectos, factorizas y queda:

D = (x+1)*(x-1) = (x+1)*( √(x-1) )².

Luego, tienes el argumento del límite:

N/D = ( √(x+4)*√(x-1) ) / ( (x+1)*( √(x-1) )² ) = simplificas factores radicales = √(x+4) / ( (x+1)*( √(x-1) ) ).

Luego, observa que el numerador tiende a √(5) y que el denominador tiende a 0 cuando x tiende a 1 por la derecha, 

por lo que tienes que el límite no existe y la expresión tiende a infinito.

Espero haberte ayudado.

    Y con respecto a este ejercicio, ¿esta bien realizado? 

Corrección final:

Perdone Antonio Benito, creo que se ha olvidado del 1/x que se encuentra elevado a toda esa expresion. 

Verdadero porque es una sucesión que aumenta de 1 en 1 donde x1=2  y xn=11 por lo que el 7 pertenece a ese intervalo

Pero no es un intervalo, es un conjunto de diez elementos, que son números naturales.

Si pones el enunciado original, te podremos ayudar mejor.

Pon foto del enunciado original. La fórmula, sin más datos, no es correcta.

Si tienes que demostrar que el espacio vectorial generado por el conjunto de dos vectores {u,v} es igual al espacio vectorial generado por el conjunto de dos vectores {(u+2v),(u-v)}, puedes demostrar que los vectores de cada conjunto se pueden expresar como combinación lineal de los vectores del otro conjunto:

1°)

Es evidente que los vectores del segundo conjunto son combinaciones lineales de los vectores del primer conjunto:

(u+2v) = 1*u + 2*v,

(u-v) = 1*u + (-1)*v.

2°)

Plantea a los vectores del primer conjunto como combinaciones lineales de los vectores del segundo conjunto (señalamos a los escalares con a, b, c, d):

u = a*(u+2v) + b*(u-v) = a*u + 2a*v + b*u - b*v = (a + b)*u + (2a - b)*v,

v = c*(u+2v) + d*(u-v) = c*u + 2c*v + d*u - d*v = (c + d)*u + (2c - d)*v.

Luego igualas los últimos miembros de las cadenas de igualdades con los primeros miembros correspondientes,

y queda el sistema de ecuaciones vectoriales:

(a + b)*u + (2a - b)*v = 1*u + 0*v

(c + d)*u + (2c - d)*v = 0*u + 1*v.

Luego igualas término a término es ambas ecuaciones, y queda el sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas:

a + b = 1

2a - b = 0, de aquí despejas: 2a = b (1)

c + d = 0, de aquí despejas: c = - d (2)

2c - d = 1;

luego sustituyes las expresiones señaladas (1) (2) en las demás ecuaciones, reduces términos semejantes y queda:

3a = 1, de donde despejas: a = 1/3, luego reemplazas en la ecuación señalada (1) y queda: 2/3 = b;

- 3d = 1, de donde despejas: d = - 1/3, luego reemplazas en la ecuación señalada (2) y queda: c = 1/3;

luego reemplazas en las ecuaciones vectoriales remarcadas y queda:

u = (1/3)*(u+2v) + (2/3)*(u-v)

v = (1/3)*(u+2v) + (-1/3)*(u-v)
y tienes a los vectores del primer conjunto expresados como combinaciones lineales de los vectores del segundo conjunto.

Luego, puedes concluir que los dos conjuntos son generadores del mismo espacio vectorial.

Espero haberte ayudado.