Tienes en el argumento del límite:

(x⁵ + 4)/(x² - 3) - (x³ + 1)/x² = extraes denominador común = ( x²(x⁵ + 4) - (x² - 3)(x³ + 1) ) / x²(x² - 3) = distribuyes en el numerador:

= (x⁷ + 4x² - x⁵ - x² + 3x³ + 3) / x²(x² - 3) = reduces términos semejantes y ordenas en el numerador, distribuyes en el denominador:

= (x⁷ - x⁵ + 3x³ + 3x² + 3) / (x⁴ - 3x²) = extraes factor común x⁷ en el numerador y x⁴ en el denominador:

= x⁷(1 - 1/x² + 3/x⁴ + 3/x⁵ + 3/x⁷) / x⁴(1 - 3/x²) = simplificas los factores monómicos entre el numerador y el denominador:

= x³(1 - 1/x² + 3/x⁴ + 3/x⁵ + 3/x⁷) / (1 - 3/x²).

Luego, cuando calculas el límite, observa que todos los términos fraccionarios en los agrupamientos  tienden a cero, por lo que los dos agrupamientos tienden a uno, y observa que el primer factor en el numerador tiende a + infinito, por lo tanto, el límite tiene por resultado + infinito.

Espero haberte ayudado.

Puedes plantear la sustitución (cambio de variable):

w = e^x, de donde tienes: dw = e^xdx, y también tienes: e^2x = (e^x)² = w².

Luego sustituyes y la integral queda:

I = ∫ 1dw / (w²-1)(w+1).

Luego, observa que debes continuar con el Método de las Fracciones Simples (te dejo una iniciación):

1 / (w²-1)(w+1) = 1 / (w-1)(w+1)(w+1) = 1 / (w-1)(w+1)² = A/(w-1) + B/(w+1) + C/(w+1)² = y puedes continuar la tarea.

Haz el intento, y si te resulta necesario no dudes en volver a consultar.

Espero haberte ayudado.

Si la x esta en una raiz será irracional

Entonces, ¿no hace falta expresar como una potencia?

Representación de funciones

Yo la dejaría como en el primer paso.

El segundo (último paso) es incorrecto...no puedes sacar factor común si no hay factores comunes :D

Cateto opuesto = Cateto contiguo = 1