Observa que el dominio de la función es D = (-1,+∞), y observa que la expresión de la función puede ser escrita en tres trozos:
f(x) =
- ln(1+x)/x si - 1 < x < 0
1 si x = 0
ln(1+x)/x si x > 0
Luego, observa que el primer trozo es continuo en su porción de dominio,
observa que el tercer trazo es continuo en su porción de dominio,
por lo que queda por estudiar la continuidad en el punto de corte, consignado en el segundo trozo:
1°) f(0) = 1 (como indica el segundo trozo);
2°) Límites laterales (observa que son indeterminados, y que los resolvemos con la Regla de L'Hôpital):
Lím(x→0-) - ln(1+x)/x = aplicamos la regla = Lím(x→0-) - 1/(1+x) = - 1,
Lím(x→0+) ln(1+x)/x = aplicamos la regla = Lím(x→0-) 1/(1+x) = 1,
y como los límites laterales no coinciden, tenemos que Lím(x→0) f(x) no existe;
3°) luego concluimos que la gráfica de la función presenta una discontinuidad inevitable tipo salto en x = 0.
Espero haberte ayudado.