a=3, b=2

(x+3)^2/9 +(y-2)^2/4=1

El 2) no es coherente.

No lo había leído bien:

Comienza por parametrizar la circunferencia C (observa que r es constante, e igual al radio de la circunferencia):

r(t) = < r*cost + h , r*sent + k >, con 0 ≤ t  ≤ 2π, en la que sus componentes son:

x(t) = r*cost + h,

y(t) = r*sent + k;

luego, observa que la expresión del vector tangente es:

r ' (t) = < - r*sent , r*cost >,

cuyo módulo es: | r ' (t) | = r.

Luego, planteamos la longitud de la circunferencia: L = 2π*r.

Luego planteamos las integrales de línea:

I₁ = ∫_c x*ds = ∫ x(t)*| r ' (t) |*dt = ∫ (r*cost + h)*r*dt = r² ∫ cost*dt + h*r ∫ dt = r²*[ sent ] + h*r*[ t ]= evaluamos =

= r²*( sen(2π) - sen(0) ) + h*r*(2π - 0) =  r²*0 +h*r*2π =  0 + 2π*h*r = 2π*h*r.

I₂ = ∫_c y*ds = ∫ y(t)*| r ' (t) |*dt = ∫ (r*sent + k)*r*dt = r² ∫ sentt*dt + k*r ∫ dt = r²*[ - cost ] + k*r*[ t ]= evaluamos =

= r²*( - cos(2π) - (- cos(0) ) + k*r*(2π - 0) =  r²*(- 1 + 1) +k*r*2π =  r²*0 + 2π*k*r = 0 + 2π*k*r = 2π*k*r.

Luego, planteamos las coordenadas del centroide:

x_c = I₁/L = sustituimos = (2π*h*r)/(2π*r) = simplificamos = h.

y_c = I₂/L = sustituimos = (2π*k*r)/(2π*r) = simplificamos = k.

Espero haberte ayudado.

Si pones foto del enunciado original, mejor.

Los cálculos, con tu calculadora:

Si la función tiene la expresión: f(x,y) = y²/x, observa que es una expresión algebraica fraccionaria, por lo que la única condición a tomar en cuenta es que el denominador debe ser distinto de cero, por lo tanto tienes: D = { (x,y) ∈ R²: x ≠ 0 }, y observa que, gráficamente, el dominio comprende a todos los puntos del plano OXY, excepto los puntos del eje coordenado OY.

espero haberte ayudado.

¿En qué centro dais esto en bachiller, Fernando?

Me temo que estoy ya en la universidad. A lo mejor no deberia postear aqui estos ejercicios. Disculpe

Observa que puedes describir la Región (R) en dos formas diferentes:

1)  0 ≤ y ≤ senx, con 0 ≤ x ≤ π/2, como tienes en tu enunciado;

2) arcseny ≤ x ≤ π/2, con 0 ≤ y ≤ 1.

Luego, tienes que el área de la región es:

A = ∫ (senx - 0)*dx = [ - cosx ] = evaluamos = - cos(π/2) - ( - cos(0) ) = - 0 + 1 = 1.

Luego, planteamos:

I₁ = ∫ x*senx*dx = te dejo la resolución (puedes aplicar el método de integración por partes).

Luego plantamos:

I₂ = ∫ y*(π/2 - arcseny)*dy = te dejo la resolución (puedes separar en términos, y el primero es de resolución directa y el segundo lo puedes resolver por partes).

Luego, las coordenadas del baricentro quedan:

x_b = I₁/A,

y_b = I₂/A.

Espero haberte ayudado.

Sin asegurarte nada, creo que los pares que componen R son:

(1,2), (1,3), ............                           

(2,2), (2,3), ............

(3,2), (3,3).........

..

(descartamos sólo los pares (a,b) en los que b=1

No es simétrica: Si el 1º está relacionado con el 2º, TAMBIÉN VICEVERSA......por ejemplo está el (1,3) pero no el (3,1) .....

Sí es transitiva: Si el 1º está relacionado con el 2º y el 2º con el 3º, entonces el 1º está relacionado con el 3º 

No es reflexiva: Para que sea reflexiva tiene que cumplirse que cada elemento  está relacionado consigo mismo...se cumple (2,2), (3,3),(4,4), (5,5)...........pero no  está en la relación el (1,1)

Por curiosidad...¿Qué es eso de irremivible?

Es irremovible, fue error de el profesor.