Tengo otra dudilla, en este no se como despejar la b si esta dentro den sen. Un saludo y muchas gracias! 🤗
Para despejar el "ángulo principal":
sin b =a→b=arcsin (a)
Observa que tienes dos puntos de corte entre trozos: x = 0 y x = π, para los que planteamos los límites laterales para cada uno de ellos, y observa que la función no está definida para x = 0:
Lím(x→0-) f(x) = Lím(x→0-) a(x - 1)2 = a(1) = a,
Lím(x→0+) f(x) = Lím(x→0+) sen(b + x) = sen(b),
luego planteas la igualdad entre los límites laterales y queda la ecuación:
a = sen(b) (1);
Lím(x→π-) f(x) = Lím(x→π-) sen(b + x) = sen(b + π),
Lím(x→π+) f(x) = Lím(x→π+) (-π/x) = - 1,
luego planteas la igualdad entre los límites laterales y queda la ecuación:
sen(b + π) = -1 (2).
Luego, compones con la función inversa del seno en ambos miembros de la ecuación señalada (2) y queda:
b + π = arcsen(-1), resuelves el segundo miembro y queda:
b + π = - π/2, haces pasaje de término y queda:
b = - 3π/2;
luego reemplazas en la ecuación señalada (1) y queda:
a = sen(-3π/2), resuelves el segundo miembro y queda:
a = 1.
Luego, observa que los límites de la función para los puntos de corte entre trozos quedan:
Lím(x→0-) f(x) = Lím(x→0-) 1(x - 1)2 = 1(1) = 1,
Lím(x→0+) f(x) = Lím(x→0+) sen(-3π/2 + x) = sen(-3π/2) = 1,
por lo que tienes:
Lím(x→0) f(x) = 1,
y observa que para que la función sea continua en x = 0 debes definir:
f(0) = 1;
Lím(x→π-) f(x) = Lím(x→π-) sen(-3π/2 + x) = sen(-3π/2 + π) = sen(-π/2) = -1,
Lím(x→π+) f(x) = Lím(x→π+) (-π/x) = - 1,
por lo que tienes:
Lím(x→π) f(x) = - 1,
y observa que el valor de la función para x = π es:
f(π) = - π/π = - 1.
Espero haberte ayudado.
