Lo tienes bien. Para mí, la nomenclatura que usas para las letras es un tanto extraña, pero lo tienes bien resuelto. SIGUE ASÍ...!!!!

La nomenclatura la he cambiado para que coincida con la de esta imagen http://cdnb.20m.es/mati-una-profesora-muy-particular/files/2012/10/thales5.jpg para facilitaros el planteamiento del ejercicio. Yo en la libreta tengo otra nomenclatura. Gracias GABRIEL LOPEZ!

Sí, Mariano:

La tienes, punk:

a)
1)
Debes tener en cuenta que la integral (al igual que la derivada) es separable en términos:
I = Integral (1 + x^4 + cosx)*dx =
= Integral 1*dx + Integral x^4 * dx + Integral cosx*dx =
(aquí debes recurrir a una tabla de primitivas, que son las funciones que obtenemos cuando integramos)
= x + (1/5)x^5 + senx + C, donde C es una constante arbitraria.
Para verificar, derivamos:
I ' = 1 + (1/5)*5x^4 + cosx + 0 = 1 + x^4 + cosx, que es la función que teníamos para integrar al principio.
2) En este caso, debemos apelar al Método de Sustitución (o de Cambio de Variable), por lo que planteamos:
w = 7 + x^4, luego derivamos: w ' = 0 + 4x^3 = 4x^3, luego planteamos su diferencial:
dw = w ' * dx reemplazamos y queda:
dw = 4x^3 * dx, y por último despejamos la expresión que forma parte de la expresión de la función que debemos integrar:
(1/4)dw = x^3 * dx.
Ahora estamos en condiciones de sustituir, y la integral queda:
I = Integral (1/w)*(1/4)*dw = (1/4) Integral (1/w)*dw = (recuerda que un factor constante puede ser extraído de la integral)
= (1/4)*ln(w) + C
Luego volvemos a la sustitución y reemplazamos w por su expresión en función de x y llegamos a:
I = (1/4)*ln(7 + x^4) + C.
Para verificar, derivamos:
I ' = (1/4) * (1 / (7 + x^4)) * 4 * x^3 = x^3 / (7 + x^4), que es la expresión de la función que teníamos para integrar al inicio.
3)
I = Integral ( 2 + 2 / x^3 ) * dx = reescribimos el segundo término, según propiedades de las potencias y queda:
= Integral ( 2 + 2 * x^(-3) ) * dx = separamos la integral en términos y queda:
= Integral 2*dx + Integral 2 * x^(-3) * dx = extraemos factores constantes y queda:
= 2 * Integral 1*dx + 2 * Integral x^(-3) * dx = luego resolvemos "buscando antiderivadas" y queda:
= 2*x + 2 * (-1/2) * x^(-2) + C = luego resolvemos y aplicamos propiedad de las potencias en el segundo término y llegamos a:
= 2*x - 1 / x^2 + C.
Puedes verificar la solución planteando su derivada, la que debe coincidir con la función que teníamos para integrar al inicio.
En tu consulta pides aprender, para ello te sugiero que busques los vídeos de integración, en los que está muy claro este tema, y que también busques una tabla de primitivas ("antiderivadas") y algunas lecturas a partir de libros.
Espero haberte ayudado.

Observa que si 2/3 está relacionado con 4/5 entonces debe existir un número entero z tal que:
2/3 = 4/5 + z/3
luego empezamos a despejar:
2/3 - 4/5 = z/3
-2/15 = z/3
-2/15 * 3 = z
-2/5 = z, que no pertenece al conjunto de los números enteros, por lo tanto tenemos que 2/3 y 4/5 pertenecen a clases de equivalencia diferentes.
Espero haberte ayudado.

Empecemos por los elementos del cilindro:
R: radio de su base,
H: altura del cilindro
Tenemos entonces:
A = 2pi*R^2 + 2pi*RH (observa que contamos el área de las dos bases y de la superficie lateral), y en el enunciado tenemos que A = 360pi, por lo que planteamos la ecuación:
2pi*R^2 + 2pi*RH = 360pi dividimos en todos los términos por 2pi y queda:
R^2 + RH = 360 (***)
También tenemos en el enunciado una relación entre la altura del cilindro y el radio de su base, por lo tanto planteamos la ecuación:
H = 4R (*** ***)
Luego sustituimos en la ecuación señalada (***) y queda:
R^2 + R*4R = 360 resolvemos en el segundo término de la izquierda y queda:
R^2 + 4R^2 = 360 reducimos términos semejantes y queda:
5R^2 = 360 dividimos por 5 en ambos miembros y queda:
R^2 = 72 hacemos pasaje de potencia como raíz y llegamos a:
R = V(72) cm,
luego reemplazamos en la ecuación señalada (*** ***) y queda:
H = 4*V(72) cm.
Vamos ahora a la expresión del área lateral (AL) de un cilindro circular recto:
AL = 2pi*RH
reemplazamos los valores que hemos calculado y queda:
AL = 2pi*V(72)*4*V(72) ordenamos factores, resolvemos y queda:
AL = 8pi*(V(72))^2 = 8pi*72 = 576pi cm^2.
Espero haberte ayudado.

Vamos a verlo:

El área total (At) es el área de la dos bases (Ab) más el área lateral. Vamos a calcularlas:

Ab= 2·(π·r²)=2πr²

Al= 2·π·r·h=2πrh: Como h es 4r tenemos: 2πr·4r=8πr² ( Ya estaría contestada, en función del radio, pero vamos a calcular el radio y la altura, así practicamos)

At=Ab+Al=2πr²+8πr²=10πr²

Igualando a su valor tenemos: 10πr²=360π→r=√360π/10π=√36= 6 cm→r=6 cm. Como h=4r=4·6=24 cm

Al=8pi·r^2=288pi cm^2
Te lo he completado con más datos que te piden. Un saludo.

Muchas gracias por la ayuda pero me dan estas posibles soluciones
A) 24π
B)72π
C)144π
D)288π

Antonio repasa los datos creo que hay algún error. Un Saludo amigo.

Jorge, valora las respuestas, por favor. Un Saludo.

Observa:
a) -2 < x

Bueno, supongamos que sea un tronco recto, que eso quiere decir que la forma es como si fuera un tubo y las bases son perpendiculares al eje del mismo tubo...
Consideremos el volumen interno sea el del cilindro de 8 cm (V8), y el externo el de 12 cm (V12), que en este caso la pared externa del tronco está inclinada desde 12 cm de radio al de 8 cm de radio.
Ahora empecemos a calcular.
- Calcula el volumen del cilindro de 8 cm de radio. V8
- Calcula el volumen del cilindro de 12 cm de radio. V12
- Ahora, calculamos el volumen de la zona que es más dificil de calcular, la externa. V12 - V8. Este volumen, que es el que pertenece a la zona inclinada. Como está inclinado y esa inclinacion es una recta, podemos considerar el volumen externo, como la mitad del volumen de V12 - V8.
- Suma el volumen interno más el volumen externo para calcular el volumen total. Vt= V8+(V12-V8)/2
Espero que se entienda algo.
Saludos.

A ver, Jaume, te explico:
Se trata de un tronco de como. Su volumen es: Semisuma de las bases por la altura: (B+b)/2·H
Área Base B= π·r²=π·12²=144π cm²
Area Base b= π·r²=π·8²=64π cm²
calculamos la semisuma de ambas bases: (144π+64π)/2=104π cm²
Por último Hallamos el Volumen= (B+b)/2·H=104π·11=1144π cm³
Un saludo.

Señores, de nuevo, infinitas gracias ¡¡¡

Mira este video, seguro que te es útil...

https://youtu.be/bx-vGQFRXlo

Por infinitésimos equivalentes:

Jaume, te lo envío hecho. Un Saludo.

Hola JAUME, te adjunto la solución.

También te adjunto un vídeo que te puede ayudar:

https://www.youtube.com/watch?v=Jdjvpq3bUM8