Hola!
K=0,5·m·v^2 (energía cinética). Para saber la altura, aplicamos la conservación de la energía mecánica, que dice que ΔEmec.=Ep-K=0. Lo que significa que: K=Ep, o lo que es lo mismo, que toda la energía cinética resulta en energía potencial. La energía potencial gravitatoria (Ep) es tal que: Ep=m·g·h.
Entonces, sabemos que K=1250J, y de la ecuación de la conservación de la Emec, sabemos que K=Ep.
Entonces, K=m·g·h
Aislamos la h (altura): h=K/(m·g)
Y resolvemos: h=1250J/(40kg·9,81m/s^2)=3,18m
Calculamos primero la velocidad inicial, que es sencillo puesto que sabemos la masa y la energía:
K=0,5·m·v^2
v0=√[(2·K)/m]=√[2·1250J/40kg]=7,9m/s
Ahora, una cuarta parte de esta velocidad es: v=(7,9m/s)/4=1,97m/s
Lo que significa que, la cantidad de energía que se ha transformado de cinética a potencial, se sabe con dicha pérdida de velocidad: K=Ep (en el momento en que tenemos esta velocidad concreta). Dicha pérdida de velocidad es v1=v0-v=7,9m/s-1,97m/s=5,93m/s (es lo mismo, decir que 3/4 de la velocidad inicial han pasado a energía potencial). Entonces: Ep=K=0,5·m·(v1)^2=0,5·40kg·(5,93m/s)^2=703,3J
El tiempo que tardará en regresar al suelo se obtiene con las ecuaciones del movimiento, miramos cuanto tarda en subir y lo mismo tardará en bajar. Tenemos la velocidad inicial, la aceleración (que es la gravedad) y la altura. Se puede hacer por ejemplo tal que así:
v=a·t+v0. Como v=0, y a=-g:
t=-v0/-a=(7,9m/s)/(9,81m/s^2)=0,8s
Multiplicado por 2 (ya que ésto es solo el tiempo de subida o de bajada, y valen lo mismo): T=0,8s·2=1,6s.
Un saludo!