Vamos con una orientación.

Establece un sistema de referencia con eje OX con dirección y sentido acordes al desplazamiento del proyectil antes de la explosión, y con eje OY perpendicular al eje anterior, con sentido positivo acorde al desplazamiento del fragmento más pequeño (que se desplaza con sentido positivo para ambos ejes, y observa que el fragmento más grande se desplaza con sentido positivo para el eje OX y con sentido negativo para el eje OY).

Luego, planteas las expresiones de las componentes del impulso (cantidad de movimiento) y de la energía cinética antes de la explosión, y queda:

p_ix = M*v_ix = 12*40 = 480 N*m,

p_iy = M*v_iy = 12*0 = 0,

EC_i = (1/2)*M*v_i² = (1/2)*M*(v_ix² + v_iy²) = (1/2)*12*(40² + 0²) = 2400 J.

Luego, planteas las expresiones de las componentes del impulso (cantidad de movimiento) y de la energía cinética después de la explosión, y queda:

p_fx = M_A*v_Ax + M_B*v_Bx = M_A*v_A*cos(45°) + M_B*v_B*cos(-30°) = 3*v_A*cos(45°) + 9*v_B*cos(30°),

p_fy = M_A*v_Ay + M_B*v_By = M_A*v_A*sen(45°) + M_B*v_B*sen(-30°) = 3*v_A*sen(45°) - 9*v_B*sen(30°),

EC_f = (1/2)*M_A*v_A² + (1/2)*M_B*v_B² = (1/2)*3*(v_Ax² + v_Ay²) + (1/2)*9*(v_Bx² + v_By²) = 1,5*(v_Ax² + v_Ay²) + 4,5*(v_Bx² + v_By²).

Luego, como no actúan fuerzas exteriores durante la explosión del proyectil, puedes plantear conservación del impulso, y tienes el sistema de ecuaciones:

p_fx = p_ix,

p_fy = p_iy;

luego, sustituyes expresiones, y queda:

3*v_A*cos(45°) + 9*v_B*cos(30°) = 480,

3*v_A*sen(45°) - 9*v_B*sen(30°) = 0;

y solo queda que resuelvas el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas,

luego podrás reemplazar valores en la expresión de la energía cinética final del sistema, 

para luego plantear la variación de energía cinética del sistema (ΔEC = EC_f - EC_i),

que es el valor de la energía disipada en forma de calor durante la explosión.

Espero haberte ayudado.

En este vídeo que grabó el profe tienes la explicación, nos cuentas ;)

https://www.youtube.com/watch?v=scO9JARtW4s

Sería interesante que aportaras el enunciado "literal" de lo que te piden calcular

Imagino que los 100 J incrementan la energía de rotación del sistema

ω inicial=60rpm x2π/60=2π rad/s

ω final=180rpm x2π/60=6π rad/s

w=ΔErotación

100=1/2 I ω²final -1/2 I ω² inicial

200=I (36π²-4π²)              I=200/32π²=0,63 kgm²

F=Ma=Mw²x=kx                         w=√ (k/M)= √ 20/0,5 =6,32 rad/s2

Fr=μN=μmg=ma

-μmg=ma

-μg=a=w²x             x=-µg/w²=-0,6x9,8/6,32²=-0,15m

Según parece, tienes los datos:

M = 4 Kg (masa del cuerpo),

R = 0,2 m (radio de la trayectoria circular de giro),

f_i = 360 rev/min = 360/60 = 6 rev/s(frecuencia inicial de giro),

τ_fr = 0,12 N*m (módulo del torque de rozamiento).

Luego, puedes plantear la expresión del módulo de la velocidad angular inicial, y queda:

ω_i = 2π*f = 2π*6 = 12π rad/s.

Luego, planteas la expresión del momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de giros (observa que consideramos que es una partícula, y si no lo es debes hacer las consideraciones correspondientes a cuerpos rígidos por lo que tendrías que subir una foto con el enunciado completo), y queda:

I = M*R² = 4*0,2² = 0,16 Kg*m².

Luego, aplicas la Segunda Ley de Newton (en este caso para giros, y observa que el momento de la fuerza de rozamiento se opone al sentido de giro del cuerpo), y tienes la ecuación:

-τ_fr = I*α, y de aquí despeja:

α = -τ_fr/I, reemplazas valores, y queda:

α = -0,12/0,16 = -0,75 rad/s²,

que es el valor de la aceleración angular del cuerpo.

Luego, planteas la expresión de la función velocidad angular de Movimiento Circular Uniformemente Variado (observa que consideramos el instante inicial: t_i = 0), y queda:

ω(t) = ω_i + α*t, reemplazas el valor de la velocidad angular inicial y de la aceleración angular, y queda:

ω(t) = 12π - 0,75*t;

luego, planteas la condición de reposo:

ω(t) = 0, sustituyes la expresión de la función velocidad angular, y queda:

12π - 0,75*t = 0, y de aquí despejas:

t = -12π/(-0,75), resuelves, y queda:

t = 16π s ≅ 50,265 s,

que es el instante en que el cuerpo se detiene.

Espero haberte ayudado.

Tu consulta corresponde al Foro de Matemáticas, pero igual ahí vamos.

Comienza por aplicar la definición de valor absoluto para la primera rama de la expresión de la función:

│x² - 1│ = 

x² - 1                  si x² - 1 ≥ 0 (observa que aquí tienes dos opciones: x ≤ -1 o x ≥ 1),

-(x² - 1)              si x² - 1 < 0 (observa que aquí tienes: -1 < x < 1);

luego, observa que la expresión de la primera rama queda expresada en tres trozos:

│x² - 1│ = 

 x² - 1                  si x ≤ -1,

-x² + 1                 si -1 < x < 1,

 x² - 1                  si x ≥ 1 (observa que este tercer trozo no corresponde a la función de tu enunciado).

Luego, planteas a la expresión de la función de tu enunciado en tres trozos (observa que son los dos primeros de nuestro desarrollo anterior, y el segundo trozo de la expresión de tu enunciado), y queda:

f(x) = 

 x² - 1                  si x ≤ -1,

-x² + 1                 si -1 < x < 1,

4 + lnx                 si x ≥ 1,

y observa que tienes que cada trozo corresponde a una función continua en su intervalo correspondiente, 

y que tienes dos valores de corte para estudiar por medio de la definición de continuidad: x₁ = -1 y x₂ = 1.

Para x₁ = -1 tienes:

1°)

f(-1) = (-1)² - 1 = 1 - 1 = 0;

2°)

Lím(x→-1-) f(x) = Lím(x→-1-) (x² - 1) = (-1)² - 1 = 1 - 1 = 0,

Lím(x→-1+) f(x) = Lím(x→-1+) (-x² + 1) = -(-1)² + 1 = -1 + 1 = 0,

y como los límites laterales son iguales, puedes plantear:

Lím(x→-1) f(x) = 0;

3°)

como el valor de la función y el límite coinciden, puedes concluir que la función es continua en x₁ = -1.

Para x₂ = 1 tienes:

1°)

f(1) = 4 + ln(1) = 4 + 0 = 4;

2°)

Lím(x→1-) f(x) = Lím(x→1-) (-x² + 1) = -(1)² + 1 = -1 + 1 = 0,

Lím(x→1+) f(x) = Lím(x→1+) (4 + lnx) = 4 + ln(1) = 4 + 0 = 4,

y como los límites laterales no son iguales, entonces tienes que el límite de la función no existe;

3°)

como el límite de la función no existe, pero sus límites naturales sí, puedes concluir que la función presenta discontinuidad esencial (o inevitable) tipo salto en x₂ = 1.

Luego, puedes concluir que la función de tu enunciado es continua en el conjunto: R - {1}.

Espero haberte ayudado.

Muchas gracias de verdad y lo siento por equivocarme de foro ha sido un despiste.

Comienza por numerar a las canastas: 1, 2, 3 y 4, desde la más alta hasta la más baja.

1)

Observa que la primera canasta hay dos personas, y que su peso no ejerce momento de fuerza (o torque) con respecto al eje de giros, porque la recta de acción de su peso corta al eje de giros de la noria, por lo que tienes que el valor del momento de fuerza es:

τ₁ = 0.

2)

Observa que en la segunda canasta hay dos personas, y que el brazo de momento del peso de la segunda canasta es:

r₂ = R*cos(45°) = 5*√(2)/2 m = 2,5*√(2) m,

por lo que el valor del momento de fuerza es (consideramos positivo al giro horario):

τ₂ = r₂*P₂ = r₂*2*M*g = ( 2,5*√(2) )*2*70*9,8 = 3430*√(2) N*m.

3)

Observa que en la tercera canasta hay una persona, y que el brazo de momento del peso de la tercera canasta es:

r₃ = R = 5 m,

por lo que el valor del momento de fuerza es (consideramos positivo al giro horario):

τ₃ = r₃*P₃ = r₃*M*g = ( 5 )*70*9,8 = 3430 N*m.

4)

Observa que en la cuarta canasta hay una persona, y que el brazo de momento del peso de la cuarta canasta es:

r₄ = R*cos(45°) = 5*√(2)/2 m = 2,5*√(2) m,

por lo que el valor del momento de fuerza es (consideramos positivo al giro horario):

τ₄ = r₄*P₄ = r₄*M*g = ( 2,5*√(2) )*70*9,8 = 1715*√(2) N*m.

Luego, planteas la expresión del momento de fuerzas resultante, y queda:

τ = τ₁ + τ₂ + τ₃ + τ₄ , reemplazas valores, y queda:

τ = 0 + 3430*√(2) + 3430 + 1715*√(2), cancelas el término nulo, reduces términos semejantes, y queda:

τ = 5145*√(2) + 3430 (en N*m).

Luego, planteas la expresión del momento de inercia total del sistema de cuatro canastas con respecto al eje de giros (observa que consideramos a las personas como partículas), y queda:

I = I₁ + I₂ + I₃ + I₄, sustituyes las expresiones de los momentos de inercia, y queda:

I = (2*M)*R² + (2*M)*R² + (M)*R² + (M*R²), reduces términos semejantes, y queda:

I = 6*M*R², reemplazas valores, y queda:

I = 6*70*5², resuelves, y queda:

I = 10500 Kg*m².

Luego, aplicas la Segunda Ley de Newton (en este caso, para giros), y queda:

τ = I*α, y de aquí despejas:

α = τ/I, reemplazas valores, y queda:

α = (5145*√(2) + 3430)/10500, resuelves, y queda:

α ≅ 1,020 rad/s².

Espero haberte ayudado.

a)

Evalúas las expresiones paramétricas para el instante inicial (t_i = 0), y tienes:

x(0) = 2,

y(0) = 0,

por lo que tienes que la posición inicial de la nadadora está expresada por el vector:

p(0) = < 2 , 0 >.

Evalúas las expresiones paramétricas para el instante final (t_f = 5), y tienes:

x(0) = 22,

y(0) = 15,

por lo que tienes que la posición final de la nadadora está expresada por el vector:

p(5) = < 22 , 15 >.

b)

Aquí planteas la expresión del módulo del vector posición final, y la distancia al origen queda expresada:

D(5) = │p(5)│ = √(22² + 15²) = √(484 + 225) = √(709) ≅ 26,627;

y observa que el módulo del vector posición te indica cuál es la distancia entre la posición de la nadadora en el instante indicado y el origen de coordenadas.

c)

Aquí planteas la expresión del vector desplazamiento final en función de los vectores de posición, y queda:

d(5) = p(5) - p(0), reemplazas expresiones, y queda:

d(5) = < 22 , 15 > - < 2 , 0 >, resuelves la resta vectorial, y queda:

d(5) = < 20 , 15 >;

y observa que el vector desplazamiento tiene punto de aplicación en la posición inicial de la nadadora, y extremo en el punto correspondiente a su posición final.

d)

Aquí planteas la expresión de la velocidad media en función del desplazamiento y de los instantes correspondientes, y queda:

v_m = d(5) / (5 - 0), reemplazas la expresión del desplazamiento, resuelves el denominador, y queda:

v_m = < 20 , 15 > / 5, resuelves, y queda:

v_m = < 4 , 3 >.

Espero haberte ayudado.

Muchas gracias por tu sugerencia, Andresito.

Observa que sobre el bloque actúan dos fuerzas, de las que indicamos sus módulos, direcciones y sentidos:

Peso: P = M*g, vertical, hacia abajo;

Acción normal del plano inclinado: N, perpendicular al plano inclinado, hacia arriba.

Luego, establece un sistema de referencia con instante inicial: t_i = 0 correspondiente al comienzo del ascenso del bloque sobre el plano inclinado, con origen de coordenadas en el pie del plano, con eje OX paralelo al plano inclinado con sentido positivo hacia arriba, y con eje OY perpendicular al plano inclinado con sentido positivo hacia arriba.

Luego, aplicas la Segunda Ley de Newton (sería muy conveniente que dibujes el diagrama de fuerzas de este problema), y tienes el sistema de ecuaciones (observa que indicamos con θ al ángulo de inclinación del plano inclinado con respecto a la horizontal):

-P*senθ = M*a,

N - P*cosθ = 0;

sustituyes la expresión del módulo del peso del bloque en ambas ecuaciones, y queda:

-M*g*senθ = M*a, de aquí despejas: a = -g*senθ (1),

N - M*g*cosθ = 0, de aquí despejas: N = M*g*cosθ (2).

Luego, planteas la expresión de la función velocidad de Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (observa que el bloque de hielo se desplaza según la dirección del eje OX), y queda:

v(t) = v_i + a*t;

luego, reemplazas el valor del módulo de la velocidad inicial que tienes en tu enunciado, sustituyes la expresión señalada (1) en el primer factor del último término, reemplazas el valor del módulo de la aceleración gravitatoria terrestre (consideramos: g = 9,8 m/s²), y queda:

v(t) = 0,365 - 9,8*senθ*t;

evalúas la expresión para el instante en estudio (t = 1,10 s), y queda:

v(1,10) = 0,365 - 9,8*senθ*1,10,

reemplazas el valor de la velocidad para el instante en estudio (v(1,10) = 0), resuelves el coeficiente en el último término,  queda:

0 = 0,365 - 10,78*senθ,

sumas 10,78*senθ en ambos miembros, y queda:

10,78*senθ = 0,365,

divides en ambos miembros por 10,78, y queda:

senθ ≅ 0,0339,

compones en ambos miembros con la función inversa del seno, y queda:

θ ≅ 1,9403°.

Luego, puedes reemplazar el valor remarcado en las ecuaciones señaladas (1) (2), y podrás calcular el valor de la aceleración del bloque, y el valor del módulo de la acción normal que el plano inclinado ejerce sobre él.

Espero haberte ayudado.