Consideramos como instante inicial (t = 0) al momento en que el maquinista del tren de pasajeros aplica los frenos, y consideramos un sistema de referencia con eje OX horizontal, con origen en el punto correspondiente al instante inicial, y sentido positivo acorde al movimiento de los trenes.
Luego, plantea las ecuaciones de posición de ambos móviles:
x = 0 + 25*t - (1/2)*0,10*t2 (Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado para el tren de pasajeros),
x = 600 - 15*t (Movimiento Rectilíneo Uniforme para el tren de carga);
luego, iguala para determinar si existe un instante de encuentro y queda:
600 - 15*t = 25*t - 0,05*t2, haces pasajes de términos, reduces términos semejantes, ordenas términos y queda:
0,05*t2 - 40*t + 600 = 0, divides por 0,05 en todos los términos de la ecuación y queda:
t2 - 800*t + 12000 = 0, que es una ecuación polinómica cuadrática cuyas soluciones son:
1) t = 784,708 s,
2) t ≅ 15,292 s, que es el instante en que chocan los trenes (respuesta a la primera cuestión del enunciado).
Luego, plantea que la posición inicial del último vagón del tren de carga es d, por que las ecuaciones de movimiento quedan:
x = 0 + 25*t - (1/2)*0,10*t2 (Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado para el tren de pasajeros),
x = d - 15*t (Movimiento Rectilíneo Uniforme para el tren de carga);
luego, iguala para determinar si existe un instante de encuentro y queda:
d - 15*t = 25*t - 0,05*t2, haces pasajes de términos, reduces términos semejantes, ordenas términos y queda:
0,05*t2 - 40*t + d = 0, divides por 0,05 en todos los términos de la ecuación y queda:
t2 - 800*t + 200*d = 0, que es una ecuación polinómica cuadrática cuyas soluciones son:
1) t = ( 800 + √(640000 - 800*d) )/2,
2) t = ( 800 - √(640000 - 800*d) )/2,
luego, observa que para que exista un instante de encuentro debe cumplirse que el argumento de las raíces cuadradas sean positivos,
por lo tanto plantea:
640000 - 800*d ≥ 0, divides por - 800 en todos los términos de la inecuación (observa que cambia la desigualdad) y queda:
- 800 + d ≤ 0, haces pasaje de término y queda:
d ≤ 800 m,
por lo que puedes concluir que habrá choque si la distancia inicial es menor o igual que ochocientos metros y, por lo tanto, para que no exista colisión debe cumplirse que la distancia inicial debe ser mayor que ochocientos metros (respuesta a la segunda cuestión del enunciado).
Espero haberte ayudado.