Planteando que la energia mecanica siempre es constante, tendrias que:

Ec_i+Ep_i=Ec_f+Ep_f

Siendo al principio del movimiento la energia cinetica inicial cero ya que el cuerpo se deja caer desde el reposo, y la energia potencial final tambien cero porque el cuerpo llega al suelo

mgh=0,5·m·v_f²

Solo te quedaria despejar h

Recuerda que la energía potencial gravitatoria queda expresado:

EP = - k*M*m/R,

a)

Como el radio R es constante, tienes que la energía potencia gravitatoria permanece constante, por lo que tienes que el trabajo mecánico de la fuerza de atracción gravitatoria ejercida sombre la masa m no realiza trabajo mecánico:

W = EP_f - EP_i = - k*M*m/R - (- k*M*m/R) = 0.

b) Observa que para R muy grande tienes que la expresión de la energía potencial gravitatoria tiende a cero, por lo que puedes plantear:

EP_f = 0;

luego, el trabajo realizado para desplazar la masa m desde R hasta infinito queda

W = EP_f - EP_i = 0 - (- k*M*m/R) = k*M*m/R.

Espero haberte ayudado.

La fuerza que actúa sobre la masa m es una fuerza central, y es en todo momento perpendicular al vector velocidad, es decir perpendicular a su desplazamiento, por lo tanto el trabajo que realiza la fuerza es nulo. Si desplazamos desde R hasta el infinito la masa m, lo que hay que hacer es la integral definida entre R e infinito de la fuerza gravitatoria y se obtiene -GmM/R

Antonio cuando te refieres a la k es la constante universal de gravitacion o que pues no me queda claro esa variable como yo uso siempre la G me quedo un poco pillado gracias a ambos.

Si, James. Hemos indicado con k a la constante de gravitación universal. Discúlpame por no haberlo aclarado en el desarrollo.

Considera los torques con respecto al eje de giros, considera positivo al sentido horario de giro, y tienes para los torques (suponemos, en principio, que F₃ tiene dirección horizontal y sentido hacia la derecha):

R₁ = 0,05 m, F₁ = M₁*g = 98 N, τ₁ = + R₁*F₁ = 0,05*98 = + 4,9 N*m (sentido horario),

R₂ = 0,08 m, F₂ = M²*g = 3*9,8 = 29,4 N, τ₂ = - R₂*F₂ = - 0,08*29,4 = - 2,352 N*m (sentido antihorario),

R₃ = 0,18 m, F₃ = a determinar, τ₃ = + R₃*F = + 0,18*F (sentido horario).

Luego, plantea la condición de equilibrio rotacional:

τ₁ + τ₂ + τ₃ = 0, reemplazas valores y queda:

+ 4,9 - 2,352 + 0,18*F₃ = 0, reduces términos semejantes y queda:

+ 2,548 + 0,18*F₃ = 0, haces pasaje de término y queda:

+ 0,18*F₃ = - 2,548, haces pasaje de factor como divisor y queda:

F₃ = - 2,548/0,18 ≅ - 14,156 N,

y observa que el signo negativo indica que el sentido de la fuerza F₃ es hacia la izquierda.

Espero haberte ayudado.

Seria interesante que aportaras todo aquello que hayas podido hacer, asi podremos orientarte mejor

Recuerda la expresión del módulo del empuje, en función de la densidad del líquido (δ), el volumen del bloque que está sumergido (V_s) y del módulo de la aceleración gravitatoria terrestre (g), observa que designamos con V al volumen de los bloques, que suponemos son idénticos:

E = δ*V_s*g

a)

El bloque flota, por lo tanto tienes: 

V_s < V, por lo que el módulo del empuje queda:

E_a = δ*V_s*g < δ*V*g (1).

b)

El bloque flota "a dos aguas" y está totalmente sumergido, por lo tanto tienes: 

V_s = V, por lo que el módulo del empuje queda:

E_b = δ*V_s*g = δ*V*g (2).

c)

El bloque está "hundido" y apoyado en el fondo y está totalmente sumergido, por lo tanto tienes:

V_s = V, por lo que el módulo del empuje queda:

E_c = δ*V_s*g = δ*V*g (3).

Luego,observa las ecuaciones señaladas (2) (3) y tienes:

E_b = E_c, luego compara con la inecuación señalada (1) y tienes:

E_a < E_b = E_c.

Espero haberte ayudado.

Se podría hacer la integral sí ;)

Plantea la expresión de la aceleración en función del tiempo, a partir de la Segunda Ley de Newton:

a(t) = F(t)/M, sustituimos (consideramos que la fuerza está expresada en dinas) y queda:

a(t) = (10000 + 3000*t)/100 = 100 + 30*t (en cm/s²).

Luego, plantea para la expresión general de la función velocidad:

v(t) = ∫ a(t)*dt = ∫ (100 + 30*t)*dt = 100*t + 15*t² + C (1),

luego, como el bloque partió desde el reposo, plantea:

v(0) = 0, reemplazas la expresión de la velocidad evaluada en el primer miembro, y queda:

100*0 + 15*0² + C = 0, de donde tienes: C = 0, luego reemplazas en la ecuación señalada (1), cancelas el término nulo y queda:

v(t) = 100*t + 15*t² (en cm/s).

Luego, plantea para la función posición del móvil en función del tiempo:

x(t) = ∫ v(t)*dt = ∫ (100*t + 15*t²)*dt = 50*t² + 5*t³ + D (2),

luego, si consideras que el móvil partió desde el origen, plantea:

x(0) = 0, reemplazas la expresión de la posición evaluada en el primer miembro y queda:

50*0² + 5*0³ + D = 0, de donde tienes: D = 0, luego reemplazas en la ecuación señalada (2), cancelas el término nulo y queda:

x(t) = 50*t² + 5*t³ (en cm).

Luego, para el desplazamiento del móvil a los 5 segundos de haber partido, plantea:

Δx = x(5) - x(0) = (50*5² + 5*5³) - (0) = 50*25 + 5*125 = 1250 - 625 = 625 cm.

Espero haberte ayudado.

Puedes denominar:

V₁ al volumen da agua que se encontraba inicialmente en el caldero,

cuya temperatura inicial es t₁ = 40 °C,

M₁ = δ*V₁ (masa inicial de agua en el tanque);

V₂ al volumen de agua que introduces en el caldero, cuya temperatura inicial es t₂ = 20° C,

M₂ = δ*V₂ (masa de agua que introduces en el tanque);

ΔQ a la cantidad de calor que aplicas al caldero;

δ = 1000 Kg/m³ (densidad de masa del agua líquida en condiciones normales);

c = 1000 cal/(Kg*°C) (calor específico del agua líquida en condiciones normales;

t_f (temperatura final del sistema).

Luego, puedes plantear que la cantidad de calor entregada al sistema es igual a la suma de las variaciones de las cantidades de calor de las masas de agua:

ΔQ = ΔQ₁ + ΔQ₂, sustituyes expresiones y queda:

ΔQ = M₁*c*(t_f - t₁) + M₂*c*(t_f - t₂), distribuyes y queda:

ΔQ = M₁*c*t_f - M₁*c*t1 + M₂*c*t_f - M₂*c*t₂, haces pasajes de términos y queda:

ΔQ + M₁*c*t1 + M₂*c*t₂ = M₁*c*tf + M₂*c*t_f, extraes factor común en el segundo miembro y queda:

ΔQ + M₁*c*t1 + M₂*c*t₂ = (M₁ + M₂)*c*t_f, haces pasajes de factores como divisores y queda:

(ΔQ + M₁*c*t1 + M₂*c*t₂) / (M₁ + M₂)*c = t_f.

Espera haberte ayudado.

Muchas gracias por contestarme.

En tu planteamiento estas considerando la energía como dato, pero ese dato lo desconozco, por tanto no lo puedo realizar considerando tu última ecuación. Sin embargo, entre realizar físicamente la introducción el agua fría en un caldero y tu ecuación lo eh resuelto:

Cuando introduces una cierta cantidad de agua a una temperatura T1, en un caldero lleno de agua a otra temperatura, T2, se produce un enfriamiento del agua total, la cual es distinta a T1 y T2. Si consideramos que no hay perdidas de energía, la energía que a perdido el agua original de la caldera es la misma que a adquirido el agua que hemos introducido, Q1=Q2. Por tanto solo tendriamos que despejar de la siguiente ecuación

M1*c₁*(tf - t1)  = M2*c₂*(t₂ - t_f)

Los ejercicios que enviar parecen ser correctos, faltaria que comprobarás los resultados.

Para el ejercicio 4 te recomiendo el siguiente vídeo:

Ley de Biot Savart

es correcto como lo planteas..no seria necesario integral

Te sugiero veas los videos de calorimetria:

Equilibrio térmico

A partir de ahí, se trata de que DESPUES DE IR A CLASE (ver los vídeos relacionados con vuestras dudas) enviéis dudas concretas, muy concretas. Y que nos enviéis también todo aquello que hayais conseguido hacer por vosotros mismos. Paso a paso, esté bien o mal. No solo el enunciado. De esa manera podremos saber vuestro nivel, en que podemos ayudaros, cuales son vuestros fallos.... Y el trabajo duro será el vuestro. Nos cuentas ¿ok?