Vamos con una orientación.
Establecemos un sistema de coordenada con origen en el punto de partida del globo, con eje OX horizontal y positivo hacia la derecha en tu gráfico, y eje OY vertical y positivo hacia abajo. Observa que tenemos que la aceleración gravitatoria es positiva (es vertical hacia abajo), que la velocidad inicial del dardo es negativa (es horizontal hacia la izquierda).
Luego, los datos iniciales para cada móvil son:
para el globo: t0 = 0, x0 = 0, y0 = 0, v0 = 0 (vertical), a = g (vertical);
para el dardo: t0 = 0,5s, x0 = 8,2ft, y0 = 6,5ft, v0x = a determinar, v0y = 0 a = g (vertical).
Luego, planteamos las ecuaciones de posición y de velocidad para cada móvil.
Para el globo (caida libre):
x = 0 (constante)
y = (1/2)*g*t2
vx = 0 (constante)
vy = g*t.
Para el dardo (tiro oblicuo):
x = 8,2 + v0x*(t - 0,5)
y = 6,5 + (1/2)*g*(t - 0,5)2
vx = v0x (constante)
vy = g*(t - 0,5).
Luego, reemplazamos el módulo de la aceleración gravitatoria (g = 32ft/s2), y planteamos el sistema de ecuaciones de posiciones, con las ecuaciones correspondientes a los dos móviles:
x = 0 (constante)
y = 16*t2
x = 8,2 + v0x*(t - 0,5)
y = 6,5 + 16*(t - 0,5)2
Luego, igualamos coordenada a coordenada para plantear la condición de encuentro:
8,2 + v0x*(t - 0,5) = 0 (1)
6,5 + 16*(t - 0,5)2 = 16*t2 (2)
distribuimos en el primer miembro de la ecuación señalada (2) y queda:
6,5 + 16*t2 - 16*t + 4 = 16t2, hacemos pasajes de términos (observa que tenemos cancelación de términos cuadráticos) y queda:
- 16*t = - 10,5, hacemos pasaje de factor como divisor y queda:
t = 0,65625 s, que es el instante de encuentro del dardo con el globo;
luego reemplazamos en la ecuación señalada (1) y queda:
8,2 + v0x*(0,65625 - 0,5) = 0, resolvemos el agrupamiento, hacemos pasaje de término y queda:
v0x*0,15625 = - 8,2, hacemos pasaje de factor como divisor y queda:
v0x = - 52,48 ft/s, que es la velocidad inicial del dardo (recuerda que su dirección es horizontal y su sentido es hacia la izquierda).
Luego, reemplazamos valores en las ecuaciones de posición y quedan:
x = 0, que indica que el dardo alcanza al globo en la posición horizontal del globo,
y = 9 ft, que es la posición vertical del punto de encuentro.
Espero haberte ayudado.