1)
Observa que sobre la esfera cargada están aplicadas tres fuerzas, de las que indicamos sus módulos, direcciones y sentidos:
Peso: P = M*g, vertical, hacia abajo,
Fuerza eléctrica: F = q*E, horizontal, hacia la derecha,
Tensión del hilo: T, inclinada hacia la izquierda y hacia arriba, formando un ángulo de 45° con la dirección vertical.
Luego, establece un sistema de referencia con eje OX horizontal con sentido positivo hacia la derecha, y con eje OY vertical con sentido positivo hacia arriba, aplicas la Primera Ley de Newton, y queda el sistema de ecuaciones:
T*sen(45°) - F = 0,
T*cos(45°) - P = 0;
luego, sustituyes las expresiones de los módulos de las fuerzas, y queda:
T*sen(45°) - q*E = 0,
T*cos(45°) - M*g = 0, de aquí despejas: T = M*g/cos(45°),
sustituyes esta última expresión en la primera ecuación, aplicas la identidad trigonométrica de la tangente en función del seno y del coseno, y queda:
M*g*tan(45°) - q*E = 0, reemplazas el valor de la tangente en el primer término (recuerda: tan(45° = 1), resuelves, y queda:
M*g - q*E = 0, y de aquí despejas: q = M*g/E (1).
Luego, vuelves a plantear el problema para la segunda situación, y queda:
T*sen(37°) - F = 0,
T*cos(37°) - P = 0;
luego, sustituyes las expresiones de los módulos de las fuerzas, y queda:
T*sen(37°) - q*E2 = 0,
T*cos(37°) - M*g = 0, de aquí despejas: T = M*g/cos(37°),
sustituyes esta última expresión en la primera ecuación, aplicas la identidad trigonométrica de la tangente en función del seno y del coseno, y queda:
M*g*tan(37°) - q*E2 = 0, y de aquí despejas: q = M*g*tan(37°)/E2 (2).
Luego, igualas las expresiones señaladas (1) (2), y queda la ecuación:
M*g/E = M*g*tan(37°)/E2,
divides por M y por g en ambos miembros, y queda:
1/E = tan(37°)/E2,
multiplicas por E y por E2 en ambos miembros, y queda:
E2 = tan(37°)*E,
y solo queda que reemplaces valores y hagas el cálculo.
Espero haberte ayudado.