Tienes que fijarte dónde está el ángulo que se utiliza para descomponerlo mediante sus razones

pero cuando se pone seno y cuando coseno ?

Para ello hay que saber que el seno va con el lado opuesto y el coseno con el contiguo. Depende de como pongas los ejes y de lo anterior.

Lo tienes resuelto aqui

http://www.elsaposabio.com/fisica/?cat=18

Si yo también la había mirado en esa página, mi pregunta era si se podría resolver con sumatorios de las fuerzas en el eje x e y en vez de con la suma de fuerzas. Ya se hacerlo pero es simplemente una duda que tengo porque lo intenté de la otra forma y no me salía.

En vez de con la suma de trabajos*

debes aplicar la regla de la mano derecha

La manera de hacerlo por ejemplo, sería, para el 1º apartado por ejemplo:

-i x j apuntas con el dedo indice el sentido negativo del eje X, con el corazon apuntas al sentido positivo del eje Y, extiendes el pulgar y verás que éste apunta en la direccion negativa del eje Z, es decir, -k

Espero lo entiendas, así con todos los demas

Recuerda dos propiedades del producto vectorial (indicamos a los vectores como u y v, a un escalar como k):

u x v = -(v x u) (1) (observa que no es conmutativo),

(k*u) x v = u x (k*v) = k*(u x v) (2).

Luego, vamos con tus ejercicios:

1) -i x j = -(i x j) = k,

2) -i x k = k x i = j,

3) -i x (-j) = (-j) x i = -(j x i) = i x j = k,

4) -i x (-k) = (-k) x i = -(k x i) = -j,

5) -j x i = -(j x i) = i x j = k,

6) -j x k = -(j x k) = -i,

7) -j x (-i) = (-i) x j = -(i x j) = -k,

8) -j x (-k) = (-k) x j = -(k x j) = j x k = i,

9) -k x i = -(k x i) = -j,

10) -k x j = -(k x j) = -i,

11) -k x (-i) = (-i) x k = -(i x k) = k x i = j,

12) -k x (-j) = (-j) x k = -(j x k) = -i.

Espero haberte ayudado.

Recuerda las ecuaciones de equivalencia entre escalas de temperaturas:

k = c + 273 (1),

f = (9/5)c + 32 (2),

r = (4/5)c (3).

Luego, tienes la ecuación de tu enunciado:

(2c + 3f) / (k + 3r) = 1,

multiplicas en ambos miembros por (k + 3r), y queda:

2c + 3f = k + 3r,

sustituyes las expresiones señaladas (1) (2) (3), y queda:

2c + 3( (9/5)c + 32 ) = c + 273 + 3(4/5)c,

distribuyes el segundo término, resuelves coeficientes, y queda:

2c + (27/5)c + 96 = c + 273 + (12/5)c,

multiplicas por 5 en todos los términos de la ecuación, y queda:

10c + 27c + 480 = 5c + 1365 + 12c,

restas 17c y restas 480 en ambos miembros, resuelves ambos miembros, y queda:

20c = 885,

divides por 20 en ambos miembros, y queda:

c = 44,25 °C.

Luego, para verificar la validez de la solución remarcada, puedes reemplazar en las ecuaciones señaladas (1) (2) (3) y queda:

k = 44,25 + 273 = 317,25 °K (a),

f = (9/5)(44,25) + 32 = 79,65 + 32 = 111,65 °F, de aquí tienes: 3f = 3(111,65) = 334,95 °F (b),

r = (4/5)(44,25) = 35,4 °R, de aquí tienes: 3r = 3(35,4) = 106,2 °R (c),

y a partir del valor remarcado, tienes: 2c = 2(44,25) = 88,5 °C (d).

Luego, reemplazas los valores señalados (a) (b) (c) (d) en el primer miembro de la ecuación de tu enunciado, y queda:

(88,5 + 334,95) / (317,25 + 106,2) = 423,45/423,45 = 1.

Por favor, consulta con tus docentes por la discrepancia con las opciones que tienes en el solucionario de tu enunciado.

Espero haberte ayudado.

Planteas la expresiones de las componentes de la cantidad de movimiento lineal resultante antes del choque, y tienes:

p_ix = M₁*v_1ix + M₂*v_2ix = 1*0 + 2*5 = 0 +10 = 10 (en Kg*m/s),

p_iy = M₁*v_1iy + M₂*v_2iy = 1*0 + 2*0 = 0 + 0 = 0 (en Kg*m/s).

Planteas la expresiones de las componentes de la cantidad de movimiento final resultante después del choque (presta atención a los signos de las componentes verticales), y tienes:

p_fx = M₁*v_1fx + M₂*v_2fx = 1*2*cos(60°) + 2*v_2f*cosθ = 1 + 2*v_2f*cosθ (en Kg*m/s),

p_fy = M₁*v_1fy + M₂*v_2fy = 1*2*sen(60°) - 2*v_2f*senθ = √(3) - 2*v_2f*senθ (en Kg*m/s).

Luego, como no actúan fuerzas exteriores en el plano de movimiento del sistema de dos partículas M1-M2, puedes plantear la conservación de la cantidad de movimiento resultante, y tienes el sistema de ecuaciones:

p_fx = p_ix,

p_fy = p_iy;

luego, sustituyes expresiones, y queda:

1 + 2*v_2f*cosθ = 10,

√(3) - 2*v_2f*senθ = 0;

luego, restas 1 en ambos miembros de la primera ecuación, restas √(3) en ambos miembros de la segunda ecuación, y queda:

2*v_2f*cosθ = 9 (1),

-2*v_2f*senθ = -√(3) (2);

luego, divides miembro a miembro la segunda ecuación entre la primera, y queda:

-tanθ = -√(3)/9, multiplicas por -1 en ambos miembros, y queda:

tanθ = √(3)/9, compones en ambos miembros con la función inversa de la tangente, y queda: θ ≅ 10,893°;

luego, reemplazas en las ecuaciones señaladas (1) (2), y queda:

2*v_2f*cos(10,893°) ≅ 9, aquí divides por 2*cos(10,893°) en ambos miembros, y queda: v_2f ≅ 4,583,

-2*v_2f*sen(10,893°) ≅ -√(3), aquí divides por -2*sen(10,893°) en ambos miembros, y queda: v_2f ≅ 4,583,

por lo que tienes que el módulo de la velocidad después del choque de la partícula cuya masa es M₂ es: v_2f ≅ 4,583 m/s.

Luego, planteas las expresiones de las componentes de la cantidad de movimiento inicial de la partícula cuya masa es M₂, y queda:

p_2ix = M₂*v_2ix = 2*5 = 10 (en Kg*m/s),

p_2iy = M₂*v_2iy = 2*0 = 0 (en Kg*m/s).

Luego, planteas las expresiones de las componentes de la cantidad de movimiento final de la partícula cuya masa es M₂ (presta atención a los signos), y queda:

p_2fx ≅ M₂*v_2f*cos(10,893°) ≅ 2*4,583*cos(10,893°) ≅ 9,000 (en Kg*m/s),

p_2fy = -M₂*v_2iy = -2*v_2f*sen(10,893°) ≅ -2*4,583*sen(10,893°) ≅  -1,732 (en Kg*m/s).

Luego, recuerda que el impulso aplicado sobre la partícula cuya masa es M₂ es igual a la variación de su cantidad de movimiento, por lo que puedes plantear las expresiones de sus componentes:

I_2x = p_2fx - p_2ix ≅ 9,000 - 10 ≅ -1,000 (en Kg*m/s),

I_2y = p_2fy - p_2iy ≅ -1,732 - 0 ≅ -1,732 (en Kg*m/s),

y, luego, puedes calcular el módulo de este impulso, y también el ángulo que determina su dirección (te dejo la tarea).

Luego, recuerda que la fuerza promedio aplicada sobre la partícula cuya masa es M₂ es igual a la división del impulso ejercido sobre ella entre el intervalo de tiempo correspondiente, por lo que puedes plantear las expresiones de sus componentes.

F_2x = I_2x/Δt ≅ -1,000/0,001 ≅ -1000 (en N),

F_2y = I_2y/Δt ≅ -1,732/0,001 ≅ -1732 (en N),

y, luego, puedes calcular el módulo de esta fuerza, y también el ángulo que determina su dirección (te dejo la tarea)..

Espero haberte ayudado.

Recuerda que el momento de fuerza promedio es igual a la división del momento angular entre el intervalo de tiempo, por lo que puedes plantear para el módulo del momento que se está ejerciendo para que el sistema esté en rotación:

τ = L/Δt = I*ω/Δt,

reemplazas valores, y queda:

τ ≅ (3,04*10^-45 Kg*m²) * (1 rad/s) / (10^-12 s) ≅ 3,04*10^-33 N*m.

Luego, tienes que este valor también corresponde al momento opuesto que debe ejercerse para que el sistema deje de rotar, con las condiciones establecidas en tu enunciado.

Espero haberte ayudado.

Ahh ya lo entiendo, muchas gracias.

Muchas gracias, es un ejercicio de mi hijo que creíamos que faltaban datos.

Observa que puedes plantear un modelo exponencial para el decaimiento alternativo:

f(x) = C*e^k*x (1),

donde x es el tiempo expresado en años, y f(x) es la cantidad de átomos radiactivos correspondientes.

Tienes los datos:

f(0) = 0,40*10²¹ = 4*10²⁰ (cantidad inicial de átomos radiactivos),

f(15) = 2*10²⁰ (cantidad de átomos que queda luego de quince años),

f(100) = a determinar.

Luego, planteas la expresión de la función evaluada en el instante inicial, y queda:

f(0) = C*e^k*0, reemplazas la expresión del primer miembro, resuelves el segundo miembro, y queda:

4*10²⁰ = C, luego reemplazas en la expresión de la función señalada (1), y queda:

f(x) = 4*10²⁰*e^k*x (2).

Luego, planteas la expresión de la función en el periodo de semidesintegración, y queda:

f(15) = 4*10²⁰*e^k*15, remplazas la expresión del primer miembro, y queda:

2*10²⁰ = 4*10²⁰*e^k*15, divides por 4*10²⁰ en ambos miembros, y queda:

0,5 = e^k*15, tomas logaritmos naturales en ambos miembros, y queda:

ln(0,5) = k*15, divides por 15 en ambos miembros, resuelves, y queda:

-0,4621 ≅ k, luego reemplazas en la expresión de la función señalada (2), y queda:

f(x) ≅ 4*10²⁰*e^-0,4621*x (2).

Luego, planteas la expresión de la función en el instante en estudio, y queda

f(100) ≅ 4*10²⁰*e^-0,4621*100, resuelves la multiplicación del primer factor con el tercero, y queda:

f(100) ≅ 0,95484*10²⁰ ≅ 9,5484*10¹⁹ átomos radiactivos.

Espero haberte ayudado.

Vamos con una orientación.

Observa que tienes un choque, por lo que tienes que plantear:

a) 

conservación del impulso (cantidad de movimiento) lineal,

porque no actúan fuerzas exteriores al sistema barra-partícula en el plano de movimiento;

b)

conservación del impulso angular,

porque no actúan momentos de fuerza (torques) exteriores al sistema barra-partícula en el plano de movimiento;

c)

conservación de la energía cinética total (de traslación y de rotación),

porque el choque de la partícula con la barra es perfectamente elástico.

Haz el planteo, y observa que tendrás un sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas, que son la velocidad final de la barra, la velocidad angular final de la barra, y la distancia entre el punto de impacto de la partícula y el centro de masas de la barra.

Haz el intento de plantear y resolver el problema, y si te resulta necesario, no dudes en volver a consultar.

Espero haberte ayudado.

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