Desarrolla el binomio y multiplícalo por x^3/2. Luego separa la integral en la suma de tres integrales inmediatas.

Por la relación fundamental de la trigonometría: sen²α+cos²α=1, senα = ± sqrt ( 1–cos²α )

Como el ángulo α pertenece al primer cuadrante, entonces se elige la raíz positiva de la expresión anterior y se sustituye el valor de cosα.

Se obtiene sen α = 3/4. Dividiendo el seno entre el coseno, obtenemos la tangente, tg α = 3/√7

Perdón, me equivoque, era autovalores :S 

El procedimiento esta mal puesto que no puedes dividir una multiplicación cada uno de sus terminos por lo mismo, es decir, si tienes (axb) y lo divides por c, te queda (axb)/c, no puedes poner (a/c) x (b/c) que es lo que haces en la imagen.

Lo que puedes hacer es separar la función, es decir:

(xln(x+1)/x²+1) = (x/x²+1) . ln (x+1) 

Aquí puedes ver que te queda (x/x²+1) multiplicado por ln (x+1), entonces cambiado x por infinito te queda (∞/∞²+1) de donde si sabes la teoria, como el grado del denominador es mas grande del nominador el resultado es 0. Y por otra parte tienes ln (∞+1) que es lo mismo que ln (∞). Aquí también hay que saber la teoría que dice que logaritmo neperiano de infinito es infinito.

Por lo tanto te queda lim cuando x tiende a ∞ de (x/x²+1) . ln (x+1) = 0 multiplicado por ∞.

Esto es una indeterminación , puesto que cualquier numero multiplicado por cero es cero, y a la vez cualquier numero multiplicado por infinito es infinito.

Aquí habría que jugar un poco con la ecuación o saber que cuando multiplicas el logaritno de 0 o el logaritmo de infinito por 0 el resutlado es 0.

Por eso el resutlado de este limtie es 0.

Otra solución es utilizar l'hopital que es derivar numerador y denominador hasta que deje de existir la indeterminación.

Si alguien ve que me equivoco en alguna parte que me avise.

¡Hola! Nos encantaría ayudarte, pero no solemos responder dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los vídeos que David Calle ha grabado como excepción. O de otras asignaturas que no sean Matemáticas, Física y Química. Lo sentimos de corazón… Esperamos que  lo entiendas.

Ojalá algún unicoo universitario se anime a ayudarte (de hecho, lo ideal es que todos los universitarios intentarais ayudaros los unos a los otros).

Te ayudo con el primer problema.

Tienes una ecuación cartesiana implícita de un plano tangente a la superficie, cuyo vector normal es:

n = <2,2,-1>.

Puedes considerar que el paraboloide elíptico tiene ecuación implícita: 

4x² - 72y + 9z² = 0,

que es una ecuación de una superficie de nivel de la función diferenciable en R³ de tres variables cuya expresión es:

f(x,y,z) = 4x² - 72y + 9z².

Luego, puedes plantear la expresión del vector gradiente de la función:

∇f(x,y,z) = < 8x , -72 , 18z >.

Luego, recuerda que el vector gradiente es perpendicular a la superficie de nivel en todos sus puntos, por lo que puedes plantear que el vector gradiente evaluado en el punto de contacto (cuya expresión general es P(x,y,z) y pertenece al paraboloide) es igual a un múltiplo escalar del vector normal al plano:

∇f(x,y,z) = k*n, k ∈ R, k ≠ 0;

sustituyes expresiones, y queda:

< 8x , -72 , 18z > = k*<2,2,-1>, efectúas el producto en el segundo miembro, y queda:

< 8x , -72 , 18z > = < 2k , 2k , -k >, 

y, por igualdad entre vectores, igualas componente a componente, y tienes el sistema:

8x = 2k, aquí divides por 8 en ambos miembros, y queda: x = k/4 (1),

-72 = 2k, aquí divides por 2 en ambos miembros, y queda: -36 = k,

18z = -k, aquí divides por 18 en ambos miembros, y queda: z = -k/18 (2);

luego, reemplazas el valor remarcado en las ecuaciones señaladas (1) (2), y queda:

x = -9, z = 2, que son los valores de la abscisa y de la cota del punto de contacto;

luego, a fin de determinar su ordenada, reemplazas estos dos últimos valores remarcados en la ecuación del elipsoide, y queda:

4(-9)² - 72y + 9(2)² = 0, resuelves y reduces términos numéricos, y queda:

360 - 72y = 0, divides en todos los términos de la ecuación por -72, y queda:

-5 + y = 0, aquí sumas 5 en ambos miembros, y queda:

y = 5, que es el valor de la ordenada del punto de contacto entre el paraboloide y el plano, cuyas ecuaciones tienes en tu enunciado.

Luego, tienes que el punto de contacto entre el plano y la superficie es: P(-9,5,2), 

y con las componentes del vector normal (n) puedes plantear una ecuación cartesiana implícita del plano tangente correspondiente:

2(x + 9) + 2(y - 5) - 1(z - 2) = 0,

distribuyes en todos los términos, reduces términos semejantes, y queda:

2x + 2y - z + 10 = 0,

restas 10 en ambos miembros, y queda:

2x + 2y - z = -10,

que es una ecuación que corresponde a un plano paralelo al plano cuya ecuación tienes en tu enunciado, por lo que puedes concluir que dicho plano no es un plano tangente al paraboloide, sino que es un plano paralelo a otro que si lo es.

Espero haberte ayudado.

Wow! Gracias!!

que es multiplicidad 1

¿Qué és un cuadro de intervalos?

Saludos.

Gracias Gabriel,  pregunta, cuando paso el término 20x+6/10 , al ser una fraccion no lo pasaria multiplicando e invirtiendo la fracción? 

Hola Laura.

Piensalo como si fuera 1/x=2, si pasas el denominador al otro lado, pasas la x y no inviertes ni nada, te quedaría 1=2x. Pues aquí igual, pasas la fracción completa, tal como la tienes en el denominador.

Si algo no entienes me dices...

En el primero no logro entender lo que qieres decir 3/2 de la correspondiente recta 3y-8=0

Ese mismo es mi problema, no se que quiere decir de la correspondiente recta jajajaja creo que tiene que haber una conica que tenga 3/2 de distancia al punto Q y a la recta, pero no logro entender

Si la definición es: "la distancia entre un punto genérico de la curva P(x,y) al punto Q(0,6) es 3/2 partes de la distancia entre el punto P y la recta cuya ecuación es 3y - 8 = 0", puedes comenzar por plantear la ecuación explícita de la recta:

y = 8/3, y tienes que la recta es paralela al eje OX y está ubicada en el primer y en el segundo cuadrante,

y tienes que su distancia al punto P queda expresada:

d(r,P) = |y - 8/3|.

Luego, planteas la expresión de la distancia entre el punto P y el punto Q, y queda:

d(Q,P) = √( (x-0)²+(y-6)² ) = √(x²+(y-6)²).

Luego, planteas la condición que tienes en tu enunciado, y queda:

d(Q,P) = (3/2)*d(r,P),

sustituyes expresiones, y queda:

√(x²+(y-6)²) = (3/2)|y-8/3|,

elevas al cuadrado en ambos miembros, y queda:

x²+(y-6)² = (y-8/3)²,

desarrollas los binomios elevados al cuadrado, y queda:

x² + y² - 12y + 36 = (3/2)(y² - (16/3)y + 64/9),

distribuyes el segundo miembro, y queda:

x² + y² - 12y + 36 = (3/2)y² - 8y + 32/3,

restas (3/2)y², sumas 8y y restas 32/3 en ambos miembros, y queda:

x² - (1/2)y² - 4y + 76/3 = 0,

que es una ecuación cartesiana implícita de una hipérbola.

Espero haberte ayudado.