Puedes plantear la ecuación cartesiana explícita de la recta tangente (indicamos con b a la ordenada al origen):

y = 2x + b (1).

Luego, sustituyes la expresión señalada (1) en la ecuación de la elipse, y queda:

9x² + 4(2x + b)² + 108x + 40(2x + b) + 388 = 0,

desarrollas el segundo y el cuarto termino, y queda:

9x² + 16x² + 16bx + 4b² + 108x + 80x + 40b + 388 = 0,

reduces y asocias términos según la incógnita x, y queda:

25x² + (16b + 188)x + (4b² + 40b + 388) = 0,

que es una ecuación polinómica cuadrática, cuyos coeficientes son:

A = 25, B = 16b + 188, C = 4b² + 40b + 388,

y cuyo discriminante: D = B² - 4AC, observa que debe ser igual a cero para tener un único punto de intersección entre la recta tangente y la elipse, por lo que puedes plantear la ecuación:

B² - 4AC = 0, sustituyes las expresiones de los coeficientes, y queda:

(16b + 188)² - 4(25)(4b² + 40b + 38)8 = 0,

desarrollas los dos términos, y queda:

256b² + 6016b + 35344 - 400b² - 4000b -38800 = 0,

reduces términos semejantes, y queda:

-144b² + 2016b - 3456 = 0,

divides en todos los términos de la ecuación por -144, y queda:

b² - 14b + 24 = 0,

que es una ecuación polinómica cuadrática, cuyas soluciones son:

a)

b = 2,

reemplazas en la ecuación de la recta tangente señalada (1), y queda:

y = 2x + 2;

b)

b = 12,

reemplazas en la ecuación de la recta tangente señalada (1), y queda:

y = 2x + 12.

Luego, tienes las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la elipse, con pendiente igual a dos para ambas rectas.

Luego (te dejo la tarea), puedes plantear dos sistemas de ecuaciones, con la ecuación de la elipse en ambos sistemas, y la ecuación de cada una de las rectas, para determinar las coordenadas del punto de contacto de cada recta con la elipse

Espero haberte ayudado.

Entonces como se calcula el vertice, tabla de valores y puntos de corte?

Es que mi profesora lo hace así y eso es lo que no entiendo.

ojo!

Gracias, César.

si lo entendí bien sera esto

pero del lado largo no faltaria la parte derecha?

Hay un rio no?