Ya estás contestada.

Observa que la palabra CACAHUATE  tiene cinco vocales (AAAEU) y cuatro consonantes (CCHT).

1°)

Considera todas las ubicaciones posibles que tienes con las cinco vocales juntas:

VVVVVCCCC - CVVVVVCCC - CCVVVVVCC - CCCVVVVVC - CCCCVVVVV,

que son en total: N₁ = 5.

2°)

En cada caso del primer paso, considera las ubicaciones que tienes para las vocales E y U:

N₂ = 2*C(5,2) =  2*10 = 20,

observa que debes elegir dos lugares entre cinco, y observa también que tienes dos opciones: EU y UE,

y observa que los tres lugares disponibles para las vocales quedan para las letras: AAA.

3°)

En cada caso del primer paso, considera las ubicaciones que tienes para las las consonantes H y T:

N₃ = 2*C(4,2) =  2*6 = 12,

observa que debes elegir dos lugares entre cuatro, y observa también que tienes dos opciones: HT y TH),

y observa que los tres lugares disponibles para las vocales quedan para las letras: CC.

Luego, por el principio de multiplicación, tienes para la cantidad de palabras que se pueden formar que tengan a las cinco vocales juntas:

N = N₁*N₂*N₃ = 5*20*12 = 1200.

Espero haberte ayudado.

Muchísimas gracias estimado!!

Otra forma.

Puedes plantear la sustitución (cambio de variable):

x = lnt, de donde tienes:

dx = (1/t)*dt, también tienes:

e^x = e^lnt = t.

Luego, sustituyes las expresiones remarcadas en la integral de tu enunciado, y queda:

I = ∫ ( 2/(2-t) )*(1/t)*dt = ∫ ( 2 / (2-t)*t )*dt (1),

que es la expresión que indica el colega César.

Luego, puedes plantear el Método de las Fracciones Parciales:

2 / (2-t)*t = a/(2-t) + b/t = ( a*t + b*(2-t) ) / (2-t)*t (2);

luego, por igualdad entre expresiones algebraicas fraccionarias tienes que los numeradores remarcados son iguales, por lo que puedes plantear la igualdad entre polinomios:

a*t + b*(2-t) = 2,

luego evalúas para dos valores reales (observa que los más convenientes son: t = 0 y t = 2), y queda el sistema de ecuaciones:

b*2 = 2, aquí divides por 2 en ambos miembros, y queda: b = 1;

a*2 = 2, aquí divides por 2 en ambos miembros, y queda: a = 1;

luego, reemplazas en el segundo miembro de la cadena de igualdades señalada (2), y queda para el argumento de la integral:

2 / (2-t)*t = 1/(2-t) + 1/t (3).

Luego, sustituyes la expresión señalada (3) en el argumento de la integral señalada (1), y queda:

I = ∫ ( 1/(2-t) + 1/t )*dt,

y puedes continuar la tarea.

Espero haberte ayudado.

Te dejo el resto a ti

Integral definida - Área de una funcion

Area entre funciones 01

 Area entre funciones 02

Yo solo he hallado esto , me parece que esa relacion no es constante, depende del radio

César, en el ejercicio te dan las siguientes opciones, por si te puede ayudar:

a) π/4

b) (-1+√5)/2

c) (1+√5)/(2*√2)

d)(-1+√5)/(2*√2)

e) 3/5

Gracias, genio