El límite se puede hacer de un modo fácil por infinitésimos equivalentes o por L' Hôpital.

Vamos con una orientación.

Planteas el desarrollo de ln(1+u) alrededor de u₀ = 0 que seguramente ya has visto en clase, y queda:

ln(1+u) = ∑(n=0,∞) (-1)ⁿ*uⁿ⁺¹/(n+1)!.

Luego, aplicas la sustitución: u = x², y queda:

ln(1+x²) = ∑(n=0,∞) (-1)ⁿ*(x²)ⁿ⁺¹/(n+1)! = ∑(n=0,∞) (-1)ⁿ*x²ⁿ⁺²/(n+1)!.

Luego, considera el primer miembro y el último miembro de la cadena de igualdades, y tienes la ecuación:

ln(1+x²) = ∑(n=0,∞) (-1)ⁿ*x²ⁿ⁺²/(n+1)!.

Luego, divides por x en ambos miembros de esta última ecuación, y queda:

ln(1+x²) / x = ∑(n=0,∞) (-1)ⁿ*x²ⁿ⁺²/(n+1)! / x = ∑(n=0,∞) (-1)ⁿ*(x²ⁿ⁺²/x)/(n+1)! = ∑(n=0,∞) (-1)ⁿ*x²ⁿ⁺¹/(n+1)!.

Luego, observa que todos los términos de la suma infinita tienen grado impar mayor o igual que 1, por lo que tienes que todos los términos de la suma infinita tienden a 0 cuando x tiende a cero, por lo que puedes inferir que el límite de tu enunciado es igual a cero.

Espero haberte ayudado.

Tienes la ecuación:

(1/4)*(x+6)² - (4x+8) = (x-6)², 

multiplicas por 4 en los tres términos de la ecuación, resuelves el coeficiente en el primer término, y queda:

(x+6)² - 4*(4x+8) = 4*(x-6)², 

distribuyes el segundo término, y queda:

(x+6)² - 16x - 32 = 4*(x-6)², 

desarrollas los binomios elevados al cuadrado, y queda:

x² + 12x + 36 - 16x - 32 = 4*(x²-12x+36),

reduces términos semejantes en el primer miembro, distribuyes el segundo miembro, y queda:

x² - 4x + 4 = 4x² - 48x + 144, 

restas 4x², sumas 48x y restas 144 en ambos miembros, y queda:

-3x² + 44x - 140 = 0,

multiplicas por -1 en todos los términos de la ecuación, y queda:

3x² - 44x + 140 = 0,

que es una ecuación polinómica cuadrática, cuyas soluciones son:

x₁ = ( 44-√(256) )/6 = (44-16)/6 = 28/6 = 14/3,

x₂ = ( 44+√(256) )/6 = (44+16)/6 = 60/6 = 10.

Espero haberte ayudado.

3)

Puedes llamar x al número cuyo valor debes determinar.

Luego, observa que puedes plantear la ecuación:

0,32*x - 0,05*(2x) = 396, resuelves el segundo término, y queda:

0,32*x - 0,1*x = 396, reduces términos semejantes en el primer miembro, y queda:

0,22*x = 396, divides por 0,22 en ambos miembros, y queda:

x = 1800, por lo que tienes que la opción (b) es la respuesta correcta

4)

Tienes la ecuación polinómica cuadrática con coeficientes (A, B, C) indeterminados:

25*x² - 10k*x + (11k+12) = 0,

cuyos coeficientes son: A = 25, B = -10k, C = 11k+12.

Luego, planteas la expresión del discriminante de la ecuación, y queda:

D = B² - 4*A*C, sustituyes expresiones, y queda:

D = (-10k)² - 4*25*(11k+12), resuelves el primer término, distribuyes y resuelves el segundo término, y queda:

D = 100k² - 1100k - 1200 (1).

Luego, planteas la condición de existencia de una raíz real única (llamada raíz doble) de la ecuación, y queda:

D = 0, sustituyes la expresión señalada (1), y queda:

 100k² - 1100k - 1200 = 0, divides por 100 en todos los términos de la ecuación, y queda:

k² - 11k - 12 = 0,

que es una ecuación polinómica cuadrática cuyas soluciones son:

k₁ = ( 11-√(169) )/2 = (11-13)/2 = -2/2 = -1,

k₂ = ( 11+√(169) )/2 = (11+13)/2 = 24/2 = 12;

por lo que tienes que la opción señalada (c) es la respuesta correcta.

Espero haberte ayudado.

5)

Observa que tienes tres precios a considerar:

x = a determinar (precio de lista del televisor);

x - 0,20*x = 0,80*x (precio de la oferta),

0,80*x + 0,05*(0,80*x) = 0,80*x + 0,4*x = 0,84*x (precio de la oferta si se paga con tarjeta de crédito).

Luego, con el último dato de tu enunciado, puedes plantear la ecuación:

0,84*x = 20160, divides por 0,84 en ambos miembros, y queda:

x = $ 24000;

por lo que tienes que la opción (a) es la respuesta correcta.

6)

Puedes llamar x al número cuyo valor debes determinar, y luego planteas la ecuación:

(1/2)*x² + 2*(x+1)² = 194,

multiplicas por 2 en todos los términos de la ecuación (¡es saludable no lidiar con fracciones!), y queda:

x² + 4*(x+1)² = 388,

desarrollas el binomio elevado al cuadrado en el segundo término, y queda:

x² + 4*(x² + 2x + 1) = 388, 

distribuyes el segundo término, y queda:

x² + 4x² + 8x + 4 = 388,

reduces términos cuadráticos, y queda

5x² + 8x + 4 = 388,

restas 388 en ambos miembros, y queda:

5x² + 8x - 384 = 0,

que es una ecuación polinómica cuadrática, cuyas soluciones son:

x₁ = ( -8-√(7744) )/10 = (-8-88)/10 = -96/10 = -48/5,

x₂ = ( -8+√(7744) )/10 = (-8+88)/10 = 80/10 = 8;

por lo que tienes que la opción (b) es la respuesta correcta.

Espero haberte ayudado.

Es posible pueda ayudarte este video (y el que le sigue) 

Programación lineall - Transporte 01

A partir de ahí, se trata de que DESPUES DE IR A CLASE (ver los vídeos relacionados con vuestras dudas) enviéis dudas concretas, muy concretas. Y que nos enviéis también todo aquello que hayais conseguido hacer por vosotros mismos. Paso a paso, esté bien o mal. No solo el enunciado. De esa manera podremos saber vuestro nivel, en que podemos ayudaros, cuales son vuestros fallos.... Y el trabajo duro será el vuestro. Nos cuentas ¿ok? #nosvemosenclase ;-)