1°)

La función está definida en el punto en estudio: f(0,0) = 0 (1).

2°)

Planteas su derivada parcial con respecto a x en el punto en estudio, y queda:

f_x(0,0) = Lím(h→0) ( f(0+h,0) - f(0,0) )/h = sustituyes expresiones y cancelas términos nulos:

= Lím(h→0) h*sen(0)/h² = Lím(h→0) 0/h² = 0 (2).

3°)

Planteas su derivada parcial con respecto a x en el punto en estudio, y queda:

f_y(0,0) = Lím(k→0) ( f(0,0+k) - f(0,0) )/k = sustituyes expresiones y cancelas términos nulos:

= Lím(k→0) 0*sen(0)/k² = Lím(k→0) 0/k² = 0 (3).

4°)

Planteas la ecuación de diferenciabilidad, y queda:

f(0+h,0+k) = f(0,0) + f_x(0,0)*h + f_y(0,0) + ε(h,k)*(h²+k²)^1/2,

sustituyes expresiones y valores, cancelas términos nulos, y queda:

h*sen(h*k)/(h²+k²) = ε(h,k)*(h²+k²)^1/2,

divides en ambos miembros por , y queda:

h*sen(h*k)/(h²+k²)^3/2 = ε(h,k) (4).

5°)

Planteas el límite para h y k tendiendo a cero de la función cuya expresión está señalada (4), y queda:

L = Lím( (h,k)→(0,0) ) ε(h,k) = sustituyes la expresión señalada (4), y queda:

= Lím( (h,k)→(0,0) ) h*sen(h*k)/(h²+k²)^3/2 = indeterminado;

luego, a fin de estudiar su existencia o no existencia, puedes plantear la familia de trayectorias rectas cuya ecuación es:

k = mh, sustituyes esta expresión en el argumento del límite, y queda:

L = Lím(h→0) h*sen(m*h²)/( h²*(1+m²) )^3/2 = distribuyes la potencia en el denominador, y queda:

= Lím(h→0) h*sen(m*h²)/( h³*(1+m²)^3/2 ) = simplificas, y queda:

= Lím(h→0) sen(m*h²)/( h²*(1+m²)^3/2 ) = extraes el factor constante, y queda:

= ( 1/(1+m²)^3/2 )*Lím(h→0) sen(m*h²)/h² =

multiplicas por m al numerador y al denominador del argumento del límite, extraes el factor constante, y queda:

= ( m/(1+m²)^3/2 )*Lím(h→0) sen(m*h²)/(m*h²) =

luego, observa que el límite es igual a uno (revisa tus apuntes de tu curso anterior de cálculo), por lo que queda:

= ( m/(1+m²)^3/2 )*1 = 

= m/(1+m²)^3/2,

que es una expresión que depende de las pendientes de las rectas de la familia de trayectorias, por lo que tienes que este límite no existe, y puedes concluir que la función no es diferenciable en el punto en estudio: (0,0).

Espero haberte ayudado.

Observa que puedes expresar a la raíz como una potencia con exponente fraccionario, y queda:

f(x) = x^1/lnx,

y observa que la función tampoco está definida para x = 1, porque se anula el denominador del exponente de la expresión para este valor;

luego, expresas a la base de la potencia como un exponencial, y queda:

f(x) = (e^lnx)^1/lnx, 

aplicas la propiedad de la potencia cuya base es otra potencia, simplificas en el exponente, y queda:

f(x) = e.

Luego, tienes que la expresión de la función es constante en todo su dominio: D = (0,1)∪(1,+∞).

Espero haberte ayudado.

Muchas gracias! 

10)

Tienes un sistema de tres ecuaciones lineales, de primer grado y con tres incógnitas, y el determinante de la matriz del sistema es:

D = 

a    1    1

1    a    1

1    1    a;

desarrollas el determinante, y queda:

D = (a³+1+1)-(a+a+a) = a³-3a+2.

Luego, planteas la condición para que el sistema sea compatible indeterminado o incompatible, y queda la ecuación:

D = 0, sustituyes la expresión del determinante, y queda:

a³ - 3a + 2 = 0,

que es una ecuación polinómica cúbica, observa que a = 1 es una de sus raíces, por lo que puedes factorizar con la Regla de Ruffini, y queda:

(a - 1)*(a² +a - 2) = 0,

luego, factorizas el polinomio cuadrático del segundo factor por medio de la fórmula resolvente, y queda:

(a - 1)*(a - 1)*(a + 2) = 0,

reduces factores semejantes, y queda:

(a - 1)²*(a + 2) = 0;

luego, por anulación de una multiplicación, tienes dos opciones:

(a - 1)² = 0, de donde puedes despejar: a = 1,

a + 2 = 0, de donde puedes despejar: a = -2.

Luego, ya puedes concluir que el sistema es compatible determinado y admite una única solución

para a ≠ 1 y a ≠ -2.

Luego, pasamos a considerar el sistema de tu enunciado para cada uno de los valores remarcados:

a)

Para a = 1, observa que las tres ecuaciones quedan iguales a:

x + y + z = 1, aquí restas x y restas y en ambos miembros, y queda:

z = 1 - x - y, por lo que tienes que el sistema es compatible indeterminado y admite infinitas soluciones, que quedan expresadas:

x ∈ R,

y ∈ R,

z = 1 - x - y.

b)

Para a = -2, aplicamos el Método de Gauss, a partir de la matriz ampliada del sistema, que queda:

-2    1    1    1

 1   -2    1    1

 1    1   -2    1;

permutas la primera fila con la tercera, y queda:

 1    1   -2    1

 1   -2    1    1

-2    1    1    1;

a la segunda fila le restas la primera, a la tercera fila le sumas el doble de la primera, y queda:

1    1   -2    1

0   -3    3    0

0    3   -3    3;

a la segunda fila la multiplicas por -1/3, a la tercera fila la multiplicas por 1/3, y queda:

1    1   -2    1

0    1   -1    0

0    1   -1    1;

a la tercera fila le restas la segunda fila, y queda:

1    1   -2    1

0    1   -1    0

0    0    0    1;

que es una matriz escalonada;

luego, planteas el sistema de ecuaciones equivalente, y queda:

x + y - 2z = 1,

      y -  z  = 0,

             0 = 1,

y observa que tienes una identidad falsa en el lugar de la tercera ecuación del sistema, por lo que puedes concluir que el sistema es incompatible y no admite solución.

Espero haberte ayudado.

En pocas palabras. :)

a)

Elige la primera galleta (observa que tiene 20 de fruta y 80 en total), y la probabilidad es: 20/80.

Luego, elige la segunda galleta (observa que tiene 35 de mantequilla y 79 en total, porque ya se ha comido una), y la probabilidad es: 35/79.

Luego, elige la tercera galleta (observa que tiene 20 de chocolate y 78 en total, porque ya se ha comido dos), y la probabilidad es: 20/78.

Luego, como para cada elección posible de la primera galleta tiene otras opciones para elegir la segunda, y por cada opción tiene otras para elegir la tercera, aplicas el Principio de Multiplicación, y queda:

p = (20/80)*(35/79)*(20/78).

b)

Elige la primera galleta (observa que tiene 25 de chocolate y 80 en total), y la probabilidad es: 25/80.

Luego, elige la segunda galleta (observa que tiene 24 de mantequilla y 79 en total, porque ya se ha comido una), y la probabilidad es: 24/79.

Luego, elige la tercera galleta (observa que tiene 23 de chocolate y 78 en total, porque ya se ha comido dos), y la probabilidad es: 23/78.

Luego, como para cada elección posible de la primera galleta tiene otras opciones para elegir la segunda, y por cada opción tiene otras para elegir la tercera, aplicas el Principio de Multiplicación, y queda:

p = (25/80)*(24/79)*(23/78).

Espero haberte ayudado.

Vesfera=4/3 πr³

Gracias Cesar, sigo sin entender porque cambiar el signo, porque en la última pones negativo? 

Meor así