¡Hola! Nos encantaría ayudarte, pero no solemos responder dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los vídeos que David Calle ha grabado como excepción. O de otras asignaturas que no sean Matemáticas, Física y Química. Lo sentimos de corazón… Esperamos que  lo entiendas.

Ojalá algún unicoo universitario se anime a ayudarte (de hecho, lo ideal es que todos los universitarios intentarais ayudaros los unos a los otros).

Observa que las dos semirrectas de la gráfica de la función cuya expresión cartesiana es:

f(x) = |x| tienen ecuaciones:

y = x (para x ≥ 0), cuya ecuación en coordenadas polares es: θ = π/4 o θ = 9π/4,

y = -x (para x < 0), cuya ecuación en coordenadas polares es: θ = 3π/4 o θ = 11π/4.

Luego, recuerda la expresión del área de una región plana en coordenadas polares:

A = _θ1∫^θ2 (1/2)*r²*dθ.

Luego, puedes plantear para la expresión del área de la región limitada por las dos semirrectas y la segunda espiral (observa que indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow):

A₂ =  _9π/4∫^11π/4 (1/2)*r²*dθ = _9π/4∫^11π/4 (1/2)*(2θ)²*dθ = _9π/4∫^11π/4 2*θ²*dθ = [ (2/3)*θ³ ],

luego evalúas, y queda:

A₂ = (2/3)*(11π/4)³ - (2/3)*(9π/4)³ =

= (2/3)*(1331π³/64) - (2/3)*(729π³/64) =

= (2/3)*(602π³/64) =

= 301π³/48.

Luego, puedes plantear para la expresión del área de la región limitada por las dos semirrectas y la primera espiral (observa que indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow):

A₁ =  _π/4∫^3π/4 (1/2)*r²*dθ = _π/4∫^3π/4 (1/2)*(2θ)²*dθ = _π/4∫^3π/4 2*θ²*dθ = [ (2/3)*θ³ ],

luego evalúas, y queda:

A₂ = (2/3)*(3π/4)³ - (2/3)*(π/4)³ =

= (2/3)*(27π³/64) - (2/3)*(π³/64) =

= (2/3)*(26π³/64) =

= 13π³/48.

Luego, puedes plantear para la expresión del área de la región comprendida entre las dos semirrectas y las dos espirales:

A = A₂ - A₁ = reemplazas valores = 301π³/48 - 13π³/48 = 288π³/48 = simplficas = 6π³.

Espero haberte ayudado.

p(t)=10000/(1+19e^-t/5)

v(t)=p'(t)=38000e^-t/5/(1+19e^-t/5)²

v(1)=38000e^-1/5/(1+19e^-1/5)²=113.50

v(10)=38000e^-10/5/(1+19e^-10/5)²=403.20

v'(t)=7600e^-t/5(19e^-t/5-1)/(1+19e^-t/5)³

v'(t)=0=>7600e^-t/5(19e^-t/5-1)/(1+19e^-t/5)³=0=>7600e^-t/5(19e^-t/5-1)=0=>19e^-t/5-1=0=>

=>19e^-t/5=1=>-t/5=ln(1/19)=>t=-5ln(1/19)=14.72

v(14.72)=38000e^-14.72/5/(1+19e^-14.72/5)²=499.99