Observa que la primera función es continua en R, por ser una composición entre la función valor absoluto y una función polinómica, que son ambas continuas en el conjunto de los números reales.

Luego, planteas la condición de que su argumento sea mayor o igual que cero, y queda:

x² - 4 ≥ 0, sumas 4 en ambos miembros, y queda:

x² ≥ 4, extraes raíz cuadrada positiva en ambos miembros (observa que su índice es par), y queda:

|x| ≥ 2, que corresponde a las inecuaciones:

x ≤ -2 o x ≥ 2,

a las que les corresponde la expresión:

f(x) = x² - 4, y observa que es válida para las condiciones: x < -2, x = -2, x = 2 y x > 2;

luego, por defecto, tienes que para las condición complementaria: -2 < x < 2, le corresponde la expresión: f(x) = -(x² - 4);

y observa que los valores de corte son: x₁ = -2 y x₂ = 2.

Observa que la segunda función es continua en R, por ser una composición entre la función valor absoluto y una función polinómica, que son ambas continuas en el conjunto de los números reales.

Luego, planteas la condición de que su argumento sea mayor o igual que cero, y queda:

2x - x² ≥ 0, sumas -1 en ambos miembros, y queda:

-1 + 2x - x² ≥ -1, multiplicas por -1 en todos los términos de esta inecuación (observa que cambia la desigualdad), y queda:

1 - 2x + x² ≤ 1, factorizas el trinomio cuadrado perfecto en el primer miembro, y queda:

(-1 + x)² ≤ 1, extraes raíz cuadrada positiva en ambos miembros (observa que su índice es par), y queda:
|-1 + x| ≤ 1, que corresponde a la inecuación doble:

-1 ≤ -1+ x ≤ 1, sumas 1 en los tres miembros de la inecuación doble, y queda la condición:

0 ≤ x ≤ 2,

a la que le corresponde la expresión:

g(x) = 2x - x², y observa qe es válida para las condiciones: x = 0, 0 < x < 2 y x =2;

luego, por defecto, tienes que para las condiciones complementarias: x < 0 y x > 2, les corresponde la expresión: g(x) = -(2x - x²);

y observa que los valores de corte son: x₃ = 0 y x₂ = 2.

Luego, puedes plantear las expresiones de las dos funciones con todos los valores de corte expresados en particular, y quedan:

f(x) =

x² - 4                 si x < -2,

x² - 4                 si x = -2,

-(x² - 4)              si -2 < x < 0,

-(x² - 4)              si x = 0,

-(x² - 4)              si 0 < x < 2,

x² - 4                 si x = 2,

x² - 4                 si x > 2;

g(x) = 

-(2x - x²)           si x < -2,

-(2x - x²)           si x = -2,

-(2x - x²)           si -2 < x < 0,

2x - x²              si x = 0,

2x - x²              si 0 < x < 2,  

2x - x²              si x = 2,

-(2x - x²)          si x > 2.

Luego, sumas expresiones trozo a trozo, y la expresión de la función suma queda:

(f + g)(x) = f(x) + g(x) =

x² - 4 - (2x - x²)                si x < -2,

x² - 4 - (2x - x²)                si x = -2,

-(x² - 4) - (2x - x²)            si -2 < x < 0,

-(x² - 4) + 2x - x²             si x = 0,

-(x² - 4) + 2x - x²             si 0 < x < 2,

x² - 4 + 2x - x²                si x = 2,

x² - 4 - (2x - x²)                si x > 2;

luego, distribuyes y reduces términos semejantes en las expresiones de los trozos, y queda:

(f + g)(x) =

2x² - 2x - 4                si x < -2,

2x² - 2x - 4                si x = -2,

-2x + 4                       si -2 < x < 0,

-2x² + 2x + 4             si x = 0,

-2x² + 2x + 4             si 0 < x < 2,

2x - 4                         si x = 2,

2x² - 2x - 4                si x > 2;

luego, observa que puedes sintetizar las dos primeras condiciones, y también la cuarta con la quinta, y queda:

(f + g)(x) =

2x² - 2x - 4                si x ≤ -2,

-2x + 4                       si -2 < x < 0,

-2x² + 2x + 4             si 0 ≤ x < 2,

2x - 4                         si x = 2,

2x² - 2x - 4                si x > 2.

Espero haberte ayudado.

Las formas de expresar más empleadas, con sus expresiones equivalentes, son:

sen²x = (senx)²,

senx² = sen(x²).

Con respecto la dos ecuaciones que consignas, por favor envía foto del enunciado completo para que podamos ayudarte.

Comienza por operar en el numerador (N) y en el denominador (D) de la expresión por separado:

a)

N = 2^-3*(-2)³*(-2)^-3*(2*9)³*2⁰,

aplicas la propiedad de la multiplicación de potencias con bases iguales en el segundo y el tercer factor, operas en el cuarto factor, resuelves el último factor, y queda:

N = 2^-3*(-2)^3-3*(2*3²)³*1,

resuelves el exponente en el segundo factor, distribuyes el exponente en el tercer factor, y queda:

N = 2^-3*(-2)⁰*2³*(3²)³*1,

resuelves el segundo factor, aplicas la propiedad de la potencia cuya base es otra potencia en el cuarto factor, y queda:

N = 2^-3*1*2³*3⁶*1,

ordenas factores, y queda:

N = 2^-3*2³*3⁶*1*1, 

aplicas la propiedad de la multiplicación de potencias con bases iguales entre los dos primeros factores, y queda:

N = 2^-3+3*3⁶*1*1, 

resuelves el exponente en el primer factor, y queda:

N = 2⁰*3⁶*1*1, 

resuelves el primer factor, y queda:

N = 1*3⁶*1*1, 

resuelves la multiplicación del segundo factor por los otros tres factores que son neutros, y queda:

N = 3⁶ (1).

b)

D = (3/2)^-4*[(-3/2)³]²*(-3/2)^-4*1^-7,

aplicas la propiedad de una potencia cuya base es otra potencia en el segundo factor, resuelves el cuarto factor, y queda:

D = (3/2)^-4*(-3/2)⁶*(-3/2)^-4*1,

expresas a las bases del segundo y del tercer factor como multiplicaciones de -1 por un factor positivo, y queda:

D = (3/2)^-4*(-1*3/2)⁶*(-1*3/2)^-4*1,

distribuyes la potencia en el segundo y en el tercer factor, y queda:

D = (3/2)^-4*(-1)⁶*(3/2)⁶*(-1)^-4*(3/2)^-4*1,

ordenas factores, y queda:

D = (3/2)^-4*(3/2)⁶*(3/2)^-4*(-1)⁶*(-1)^-4*1,

aplicas la propiedad del la multiplicación de potencias con bases iguales entre los tres  primeros factores, y entre el cuarto y el quinto factor, y queda.

D = (3/2)^-4+6-4*(-1)^6-4*1,

resuelves exponentes en los dos primeros factores, y queda:

D = (3/2)^-2*(-1)²*1,

aplicas la propiedad de las potencias con exponente negativo en el primer factor, resuelves el segundo factor, y queda:

D = (2/3)²*1*1,

resuelves la multiplicación del primer factor por los otros dos factores que son neutros, y queda:

D = (2/3)².

c)

Planteas la expresión formada por la división entre el numerador (N) y el denominador (D), y queda:

N/D = 

sustituyes expresiones, y queda:

3⁶ / (2/3)² =

expresas al numerador en forma fraccionaria, distribuyes la potencia en el denominador, y queda:

= (3⁶/1) / (2²/3²) = 

resuelves la división entre expresiones fraccionarias, y queda:

= (3⁶*3²) / (1*2²) =

aplicas la propiedad de la multiplicación de potencias con bases iguales en el numerador, resuelves la multiplicación en el denominador (observa que su primer factor es neutro), y queda:

= 3⁸ / 2² =

resuelves el numerador y el denominador, y queda:

= 6561/4.

¿Cundo x tiende a?

Por cierto, justificar ese límite según la definición se me antoja una propuesta sádica.

¿ Es parte entera * valor absoluto??

Interés Simple y Compuesto

Mírate los videos primero vale.

Los demás asuntos exceden las competencias de esta página.

¿Cómo sabe que tiene una única raíz real? Le agradecería que me respondiese.

Distribuyes en la expresión de la primera función, y queda:

f(x,y) = x - 0,01x² - 0,005xy;

y observa que las expresiones de sus funciones derivadas parciales quedan:

f_x(x,y) = 1 - 0,02x - 0,005y,

f_y(x,y) = -0,005x.

Distribuyes en la expresión de la segunda función, y queda:

g(x,y) = 0,5y - 0,01y² - 0,01xy;

y observa que las expresiones de sus funciones derivadas parciales quedan:

g_x(x,y) = -0,01y,

g_y(x,y) = 0,5 - 0,02y - 0,01x.

Espero haberte ayudado.

tendrás que ir dando valores al ángulo