https://www.youtube.com/watch?v=Kn15S7w4IA8

Nota que x=1 es raíz de G,asi

G(x)=(x-1)(x³+(a+1)x²+(a+1)x+a)

Tienes el polinomio cuya expresión es:

G(x) = x⁴ + a*x³ - x - a,

asocias en grupos de dos términos, y queda:

G(x) = (x⁴ + a*x³) + (- x - a),

extraes factores comunes en los grupos, y queda:

G(x) = x³*(x + a) - 1*(x + a),

extraes factor común, y queda:

G(x) = (x + a)*(x³ - 1),

factorizas la resta entre cubos perfectos que tienes en el segundo factor, y queda:

G(x) = (x + a)*(x - 1)*(x² + x + 1),

que es la expresión factorizada del polinomio en el campo de los números reales, ya que el último factor no tiene raíces reales.

Espero haberte ayudado.

No no es necesario

Mirate el teorema de Rolle

Aplica el teorema de Rolle al intervalo cerrado [0.2, 0.8] donde la función f está definida y es continua y derivable en este intervalo. Vemos que f(0.2) = f(0.8). Entonces por el teorema de Rolle, existe al menos un punto c perteneciente al intervalo (0.2, 0.8) tal que f'(c)=0. Si quieres precisar más que este punto c es un mínimo y no un máximo, tienes que estudiar el signo de la derivada, y verás que antes del valor c, la derivada será negativa y después la derivada será positiva, con lo que puedes concluir que el valor de c es un mínimo.

Saludos.

Observa que el ángulo (α) pertenece al segundo cuadrante, por lo que tienes que el seno es positivo, y tienes que el coseno y la tangente es negativo.

Luego, planteas la identidad trigonométrica del coseno en función de la tangente, y queda:

cos²α = 1 / (1+tan²α),

reemplazas el valor de la tangente en el segundo miembro, resuelves el denominador, y queda:

cos²α = 1/5,

extraes raíz cuadrada en ambos miembros (observa que elegimos la raíz negativa), y queda:

cosα = -√(1/5),,

distribuyes la raíz en el segundo miembro, resuelves el numerador, y queda:

cosα = -1/√5);

multiplicas al numerador y al denominador por √5), resuelves el denominador, y queda:

cosα = -√(5)/5.

Luego, planteas la ;dentidad trigonométrica del seno en función de la tangente, y queda:

sen²α = tan²α / (1+tan²α),

reemplazas el valor de la tangente en el segundo miembro, resuelves el numerador y el denominador, y queda:

sen²α = 4/5,

extraes raíz cuadrada en ambos miembros (observa que elegimos la raíz positiva), y queda:

senα = √(4/5),,

multiplicas por 5 en el numerador y en el denominador del argumento de la raíz, y queda:

senα = √(4*5/25),

distribuyes la raíz entre los dos factores del numerador y entre el denominador, resuelves el denominador, y queda:

senα = 2*√(5)/5.

Espero haberte ayudado.

Planteas las expresiones de las distancias entre el punto A y un punto genérico P(x,y), y entre el punto B y el punto P, y quedan:

d(A,P) = √( (x-4)²+(y-2)² ) (1),

d(B,P) = √( (x+1)²+(y-3)² ) (2).

Luego, planteas la condición que cumplen los puntos del lugar geométrico, y queda:

d(A,P) = 2*d(B,P),

sustituyes las expresiones señaladas (21) (2), y queda:

√( (x-4)²+(y-2)² ) = 2*√( (x+1)²+(y-3)² ),

elevas al cuadrado en ambos miembros (observa que distribuimos la potencia en el segundo miembro), simplificas raíces y potencias, y queda:

(x-4)²+(y-2)² = 4*( (x+1)²+(y-3)² ),

desarrollas los binomios elevados al cuadrado, y queda:

x² - 8x + 16 + y² - 4y + 4 = 4*(x² + 2x + 1 + y² - 6y + 9),

distribuyes el segundo miembro, reduces términos semejantes y ordenas términos en ambos miembros, y queda:

x² + y² - 8x - 4y + 20 = 4x² + 4y² + 8x - 24y + 40,

restas 4x², restas 4y², restas 8x, sumas 24y, restas 20 en ambos miembros, y queda:

-3x² - 3y² - 16x + 20y = 20,

divides por -3 en todos los términos de la ecuación, y queda:

x² + y² - (16/3)x + (20/3)y = 20/3,

ordenas términos según las incógnitas en el primer miembro, y queda:

x² - (16/3)x + y² + (20/3)y = 20/3,

sumas 64/9 y sumas 100/9 en ambos miembros, y queda:

x² - (16/3)x + 64/9 + y² + (20/3)y + 100/9 = 20/3 + 64/9 + 100/9,

asocias en dos trinomios en el primer miembro, resuelves el segundo miembro, y queda:

(x² - (16/3)x + 64/9) + (y² + (20/3)y + 100/9) = 224/9,

factorizas los trinomios cuadrados perfectos que tienes en los agrupamientos, resuelves el segundo miembro, y queda:

(x - 8/3)² + (y + 10/3)² = 224/9,

que es la ecuación cartesiana canónica de una circunferencia,

cuyo centro es el punto: C(8/3,-10/3), y cuyo radio es: R = √(224/9) = 4√(14)/3.

Espero haberte ayudado.

Tienes que corregir, y observa que debes revisar las operaciones elementales por filas.

Tienes el sistema de cuatro ecuaciones lineales con cuatro incógnitas:

x + 2y + z - 2w = 1,

2x - 4y + z        = 3,

x - 2y + 2z + w = -2,

3x - 6y + 3z - w = 1.                   

A la segunda fila le restas el doble de la primera, a la tercera fila le restas la primera, a la cuarta fila le restas el triple de la primera, y queda:

x + 2y + z - 2w = 1,

   - 8y - z + 4w = 1,

    -4y + z + 3w = -3,

   -12y     + 5w = -2.

Permutas la segunda fila con la tercera, y queda:

x + 2y + z - 2w = 1,

   -4y + z + 3w = -3,

   - 8y - z + 4w = 1,

   -12y     + 5w = -2.

A la tercera fila le restas el doble de la segunda, a la cuarta fila le restas el triple de la segunda, y queda:

x + 2y + z - 2w = 1,

   -4y + z + 3w = -3,

         - 3z - 2w = 7,

         -3z  - 4w = 7.

A la cuarta fila le restas la tercera, y queda:

x + 2y + z - 2w = 1,

   -4y + z + 3w = -3,

         - 3z - 2w = 7,

                - 2w = 0, aquí divides por 2 en ambos miembros, y queda: w = 0.

Luego, reemplazas el valor remarcado en las tres primeras ecuaciones, cancelas términos nulos, y queda:

x + 2y + z = 1,

   -4y + z = -3,

         - 3z = 7, aquí divides por -3 en ambos miembros, y queda: z = -7/3.

Luego, reemplazas el valor remarcado en las dos primeras ecuaciones, sumas 7/3 en ambos miembros de ambas ecuaciones, y queda:

x + 2y = 10/3,

    - 4y = -2/3, aquí divides por -4 en ambos miembros, y queda: y = 1/6.

Luego, reemplazas el valor remarcado en la primera ecuación, restas 1/3 en ambos miembros de dicha ecuación, y queda: x = 3.

Luego, tienes que el sistema de tu enunciado es compatible determinado, y su solución única es:

x = 3, y = 1/6, z = -7/3, w = 0.

Espero haberte ayudado.