Muchisimas gracias!

Tenemos las funciones f(x)=2x, g(x)=x-1. Nuestro objetivo es hallar (g o f)(1). En primer lugar hallaremos (g o f)(x):

(g o f)(x)= g(f)=(f)-1=2x-1. Como vemos, la función compuesta que hemos obtenido, está evaluada en la variable x, por eso se escribe como (g o f)(x). Sin embargo, nuestro objetivo es evaluar esta función compuesta para x=1: ∴ (g o f)(1)=1

ESPERO HABERTE AYUDADO!!!

Observa que en la definición del conjunto M tienes una disyunción (∨), y que resulta Verdadera si al menos una de las proposiciones es verdadera.

Luego, tienes la primera proposición, presentada con la inecuación doble:

0 ≤ |x+3| ≤ 1,

y observa que en el miembro central tienes un valor absoluto, por lo tanto tienes que la expresión correspondiente es mayor o igual que cero para todo número real x, por lo que puedes expresar esta proposición por medio de la inecuación simple:

|x+3| ≤ 1,

a la que has resuelto correctamente, y cuyo conjunto solución queda expresado por el intervalo cerrado:

S₁ = [ -4 , -2 ].

Luego, tienes la segunda proposición, presentada con la ecuación:

x = -1,

cuyo conjunto solución es unitario, y queda expesado:

S₂ = { -1 }.

Luego, como en la definición del conjunto M tienes a estas dos proposiciones conectadas por medio de una disyunción,

entonces tienes que el conjunto queda expresado como la unión de los conjuntos solución que hemos remarcado, por lo que tienes:

M = S₁ ∪ S₂ = [ -4 , -2 ] ∪ { -1 }.

Espero haberte ayudado.

Tienes la proposición:

P(n): ∑(i=1,n) i*2^i-1 = 1 + 2ⁿ*(n-1), para n ∈ ℕ, n ≥ 1.

Aplicas el Quinto Axioma de Peano (Principio de Inducción Matemática), y tienes:

1°)

P(1): 

∑(i=1,1) i*2^i-1 = 1 + 2¹*(1-1), desarrollas la sumatoria (observa que consta de un término), resuelves el agrupamiento, y queda:

1*2^1-1 = 1 + 2¹*0, resuelves e segundo factor del primer miembro, resuelves el segundo término del segundo miembro, y queda:

1*1 = 1 + 0, resuelves en ambos miembros, y queda:

1 = 1,

que es una Identidad Verdadera, por lo que tienes que la proposición de tu enunciado es Verdadera para n = 1;

2°)

Hipótesis Inductiva:

∑(i=1,h) i*2^i-1 = 1 + 2^h*(h-1), para h ∈ ℕ, h ≥ 1,

que se acepta como Verdadera.

3°)

Tesis Inductiva:

∑(i=1,h+1) i*2^i-1 = 1 + 2^h+1*(h+1-1) = 1 + 2^h+1*h, para h ∈ ℕ, h ≥ 1,

que se debe demostrar que es Verdadera;

4°)

Demostración:

∑(i=1,h+1) i*2^i-1 = 

separas el último término de la sumatoria, y queda:

= ∑(i=1,h) i*2^i-1 + (h+1)*2^h+1-1 =

cancelas términos opuestos en el exponente del segundo factor del segundo término, y queda:

= ∑(i=1,h) i*2^i-1 + (h+1)*2^h =

aplicas la Hipótesis Inductiva, y queda:

= 1 + 2^h*(h-1) + (h+1)*2^h =

extraes factor común en los dos últimos términos, y queda:

= 1 + 2^h*( h-1 + h+1 ) =

reduces términos semejantes en el agrupamiento (observa que tienes cancelaciones), y queda.

= 1 + 2^h*2*h =

aplicas la propiedad de la multiplicación de potencias con bases iguales en los dos primeros factores del segundo término, y queda:

= 1 + 2^h+1*h,

por lo que tienes que la Tesis Inductiva es Verdadera.

Espero haberte ayudado.

La primera derivada no se hace cero, es siempre negativa, por lo que la función es decreciente, sin punto críticos.

Tienes la expresión, que consiste en un binomio elevado al cuadrado:

(a + b)² =

expresas como una multiplicación de dos factores iguales, y queda:

= (a + b)*(a + b) =

aplicas la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma, y queda:

= a*a + a*b + b*a + b*b =

expresas al primer y al último término como potencias, reduces los dos términos centrales, y queda:

= a² + 2*a*b + b²,

y la última expresión remarcada es la que corresponde al desarrollo de un binomio elevado al cuadrado;

luego, tienes en tu enunciado:

a = 4 y b = 3,

por lo que el desarrollo del binomio elevado al cuadrado queda:

(4 + 3)² = 4² + 2*4*3 + 3² = 16 + 24 + 9 = 49;

y puedes verificar que es correcto, si comienzas por resolver la suma en el agrupamiento:

(4 + 3)² = 7²= 49.

Espero haberte ayudado.

_{muchas gracias Antonio}

Con este cambio de variable sale.

Si tienes una división entre el número real: 14, y el número complejo: (-4,3) expresado en forma cartesiana de par ordenado, entonces debes corregir.

Tienes la expresión:

14 / ( -4 , 13 ) =

expresas a la división como la multiplicación del primer factor por el inverso del segundo factor, y queda:

= 14 * (-4,13)^-1 = 

desarrollas la expresión del segundo factor, observa que |(-4,13)| = √(185) y recuerda la expresión del inverso de un número complejo expresado en forma cartesiana de par ordenado, y queda:

= 14 * ( -4/√(183) , -13/√(183) ) = 

distribuyes, y queda:

= ( -56/√(185) , -182/√(185) ).

Espero haberte ayudado.

Muchas gracias por tu respuesta, comprendo. En este caso es 14 dividido un vector, ¿lo resolvería similar a su explicación? GRacias