En este paso, debes aplicar la identidad trigonométrica: cos(a) - cos(b) = -2*sen((a + b)/2)*sen((a - b)/2)
observa que para tu ejercicio, tienes: a = u + Du, b = u, por lo tanto:
(a + b)/2 = (2u + Du)/2 = u + Du / 2,
(a - b)/2 = Du / 2
(Du indica incremento de u, o sea "delta"u)
Por lo tanto, el incremento de la función queda:
cos(u + Du) - cos(u) = -2 * sen (u + Du/2)*sen(Du/2).
Luego puedes pasar al cociente incremental:
(cos(u + Du) - cos(u)) / Du = ( -2 * sen (u + Du/2)*sen(Du/2)) / Du =-2 * sen (u + Du/2)*sen(Du/2)/Du (observa que hemos escrito el denominador en el último factor)
Luego, pasamos al límite del cociente incremental (observa que tenemos un factor constante, y un producto de funciones, por lo que por propiedad nos queda:)
f ' (u) = -2 * Lím(Du -->0) sen(u + Du/2) * Lím(Du -->0) sen(Du/2)/Du (***)
Luego, analiza los dos límites por separado:
Lím(Du -->0) sen(u + Du/2) = sen(u) (observa que es un límite directo que se resuelve por evaluación)
Lím(Du -->0) sen(Du/2)/Du = (multiplicamos y dividimos por 2 al denominador y queda:)
= Lím(Du -->0) sen(Du/2)/2(Du72) = (extraemos el factor constante no agrupado en el denominador, y aplicamos la sustitución w = Du/2 y queda:
= (1/2) * Lím(w -->0) sen(w) / w = (1/2)*1 = 1/2.
Para terminar, reemplazamos en la expresión de la derivada (señalada ***) y queda por fin:
f ' (u) = -2 * Lím(Du -->0) sen(u + Du/2) * Lím(Du -->0) sen(Du/2)/Du = -2 * sen(u) * (1/2) = - sen(u).
Por lo tanto queda demostrada por definición que la derivada de la función f(u) = cos(u) es: f ' (u) = - sen(u).
Espero haberte ayudado.

En este paso, debes aplicar la identidad trigonométrica: cos(a) - cos(b) = -2*sen((a + b)/2)*sen((a - b)/2)
observa que para tu ejercicio, tienes: a = u + Du, b = u, por lo tanto:
(a + b)/2 = (2u + Du)/2 = u + Du / 2,
(a - b)/2 = Du / 2
(Du indica incremento de u, o sea "delta"u)
Por lo tanto, el incremento de la función queda:
cos(u + Du) - cos(u) = -2 * sen (u + Du/2)*sen(Du/2).
Luego puedes pasar al cociente incremental:
(cos(u + Du) - cos(u)) / Du = ( -2 * sen (u + Du/2)*sen(Du/2)) / Du =-2 * sen (u + Du/2)*sen(Du/2)/Du (observa que hemos escrito el denominador en el último factor)
Luego, pasamos al límite del cociente incremental (observa que tenemos un factor constante, y un producto de funciones, por lo que por propiedad nos queda:)
f ' (u) = -2 * Lím(Du -->0) sen(u + Du/2) * Lím(Du -->0) sen(Du/2)/Du (***)
Luego, analiza los dos límites por separado:
Lím(Du -->0) sen(u + Du/2) = sen(u) (observa que es un límite directo que se resuelve por evaluación)
Lím(Du -->0) sen(Du/2)/Du = (multiplicamos y dividimos por 2 al denominador y queda:)
= Lím(Du -->0) sen(Du/2)/2(Du72) = (extraemos el factor constante no agrupado en el denominador, y aplicamos la sustitución w = Du/2 y queda:
= (1/2) * Lím(w -->0) sen(w) / w = (1/2)*1 = 1/2.
Para terminar, reemplazamos en la expresión de la derivada (señalada ***) y queda por fin:
f ' (u) = -2 * Lím(Du -->0) sen(u + Du/2) * Lím(Du -->0) sen(Du/2)/Du = -2 * sen(u) * (1/2) = - sen(u).
Por lo tanto queda demostrada por definición que la derivada de la función f(u) = cos(u) es: f ' (u) = - sen(u).
Espero haberte ayudado.

Muchas gracias, pero una pregunta.. cuando aplicas limite al final del ejercicio porque haces limite de delta de u que tiende a 0 ????

Puedes distribuir el denominador entre los términos del cociente incremental (D indica "delta"):
Dy/Dx = u * Dv/Dx + v * Du/Dx + Du * Dv /Dx (***)
Luego puedes resolver el límite del cociente incremental término a término:
a) Lím(Dx -->0) u * Dv/Dx = u * Lím(Dx -->0) Dv/Dx = u * v '
b) Lím(Dx -->0) v * Du/Dx = v * Lím(Dx -->0) Du/Dx = v * u '
c) Lím(Dx -->0) Du * Dv / Dx = (multiplicamos numerador y denominador por Dx)
= Lím(Dx -->0) Du/Dx * Dv/Dx * Dx = (aplicamos propiedad del límite de un producto de funciones)
= Lím(Dx -->0) Du/Dx * Lím(Dx -->0) Dv/Dx * Lím(Dx -->0) Dx = u ' * v ' * 0 = 0
Por último, volvemos a la expresión del cociente incremental (señalada ***), planteamos su límite cuando Du tiende a cero y queda:
y ' = u * v ' + u' * v + 0 = u * v ' + u' * v.
Espero haberte ayudado.

Debes tener en cuenta el Algoritmo de Euclides:
en este caso al dividir 527 por el número natural b, el cociente es 21 y el resto r, con la condición: 0 <= r < b, y 527 = 21b + r, de donde despejamos: 527 - 21b = r.
A partir de la primera desigualdad tenemos que:
0 <= r
reemplazamos y queda:
0 <= 527 - 21b
hacemos pasaje de término y queda:
21b <= 527
hacemos pasaje de factor positivo como divisor (recuerda que se mantiene el sentido de la desigualdad) y queda:
b <= 527/21 = 25,09 (aproximadamente)
Por lo que concluimos que b <= 25.
Luego a partir de la segunda desigualdad tenemos que:
r < b
reemplazamos r y queda.
527 - 21b < b
hacemos pasajes de términos y queda:
-21b - b < - 527
resolvemos a la izquierda y queda:
-22b < -527
luego hacemos pasaje de factor negativo como divisor (recuerda que cambia el sentido de la desigualdad) y queda:
b > -527 / (-22) = 23,95 (aproximadamente)
Por lo que tenemos que b es mayor o igual que 24.
Ya tenemos entonces: 24 <= b <= 25.
Por lo tanto evaluamos:
b = 24, hacemos la división y vemos que el cociente es 21 y el resto es r = 23 < 24 (observa que 527 = 21*24 + 23)
b = 25, hacemos la división y vemos que el cociente es 21 y el resto es r = 2 < 25 (observa que 527 = 21*25 + 2)
Espero haberte ayudado.

Debes tener en cuenta el Algoritmo de Euclides:
en este caso al dividir 527 por el número natural b, el cociente es 21 y el resto r, con la condición: 0 <= r < b, y 527 = 21b + r, de donde despejamos: 527 - 21b = r.
A partir de la primera desigualdad tenemos que:
0 <= r
reemplazamos y queda:
0 <= 527 - 21b
hacemos pasaje de término y queda:
21b <= 527
hacemos pasaje de factor positivo como divisor (recuerda que se mantiene el sentido de la desigualdad) y queda:
b <= 527/21 = 25,09 (aproximadamente)
Por lo que concluimos que b <= 25.
Luego a partir de la segunda desigualdad tenemos que:
r < b
reemplazamos r y queda.
527 - 21b < b
hacemos pasajes de términos y queda:
-21b - b < - 527
resolvemos a la izquierda y queda:
-22b < -527
luego hacemos pasaje de factor negativo como divisor (recuerda que cambia el sentido de la desigualdad) y queda:
b > -527 / (-22) = 23,95 (aproximadamente)
Por lo que tenemos que b es mayor o igual que 24.
Ya tenemos entonces: 24 <= b <= 25.
Por lo tanto evaluamos:
b = 24, hacemos la división y vemos que el cociente es 21 y el resto es r = 23 < 24 (observa que 527 = 21*24 + 23)
b = 25, hacemos la división y vemos que el cociente es 21 y el resto es r = 2 < 25 (observa que 527 = 21*25 + 2)
Espero haberte ayudado.

muchas gracias Antonio, me has ayudado muchisimoo!!!

Observa bien los términos de la suma:
S = (4 - 1) + (9 - 1) + (16 - 1) + (25 - 1) + ... + (100 - 1)
luego, observa que los primeros términos en los agrupamientos son cuadrados perfectos de números naturales, por lo tanto:
S = (2^2 - 1) + (3^2 - 1) + (4^2 - 1) + (5^2 - 1) + ... + (10^2 - 1)
Y observa ahora que la suma puede expresarse como la sumatoria con término general: (2^n - 1), con n comprendido entre 2 y 10.
Espero haberte ayudado.

Te verificamos Aylen:

esta bien así lo hice pero con la diferencia que acomode el pi sobre dos y lo puse adelante del coseno... esta bien así?

Está muy bien Aylen, el orden de los factores no altera el producto y además, queda más presentable :-)

consulta por dudas

Gracias por la resolución :) pero tengo una duda, [1,4) a que corresponde?

es la solución final. dado que la solución tiene que ser la intersección de las soluciones parciales de ambas inecuaciones. mejor?

Muchísimo mejor. Gracias :)

El resultado de la segunda no se corresponde con el enunciado.

No coinciden Valeria

Genial, revisé y estaba así, capaz se confundieron así que avisaré. Pero en el caso de la primera, bueno, no sé como llega...

el primer ejercicio quedaria de la siguiente forma:



integral 1/1+9x ^2 se puede escribir como: integral 1/1+(3x) ^2



1)se realiza el cambio de variable



t=3x dt/dx=3 so dx= dt/3



integral 1/(1+t ^2) * dt/3 = 1/3 integral 1/1+t ^2 dt so respuesta es 1/3 arctg(t)+c , regresando a los datos principales

es: 1/3 arctg(3x) +c.





la respuesta de la primera integral también esta mal, porque es 1/3 no 1/2.

Bueno, me alegra saber que no fue mi culpa :D jaja, me daba 1/3, biennnnnn!
Gracias!!!

Miguel, no se trata de resolver una ineacuación, sino de demostrar una desigualdad:

Debes tener en cuenta que el empleo de coordenadas esféricas es conveniente y práctico (en general) cuando tratas con un sólido limitado por superficies que comparten un centro de simetría.
En este caso, una de las superficies es un paraboloide con eje z (positivo), y una esfera con centro en el punto (0,0,1) y radio 1, observa que ambas superficies comparten eje de simetría en el eje z, por lo que es más conveniente en este caso tratar el problema con coordenadas cilíndricas de eje z.
Observa que las ecuaciones de las superficies en estas coordenadas son:
z = r^2 (paraboloide)
r^2 + (z - 1)^2 = 1 (esfera), despejamos z y queda: z = 1 + V(1 - r^2) (observa que elegimos la raíz positiva al despejar)
por lo tanto, ya tienes los límites de integración para z: r^2 <= z <= 1 + V(1 - r^2)
Para ver el recinto de integración para r y para t (t indica "theta"), primero sustituimos z de la primera ecuación en lugar de r^2 en la segunda y queda:
z + (z - 1)^2 = 1, desarrollamos el binomio al cuadrado, agrupamos y cancelamos términos y queda:
z^2 - z = 0, cuyas soluciones son z = 0 y z = 1 (observa, a partir de un gráfico, que corresponde considerar z =1 para que exista el sólido)
luego volvemos a cualquiera de las dos ecuaciones, reemplazamos y queda:
r^2 = 1, luego despejamos y llegamos a:
r = 1, por lo que concluimos que la intersección entre el paraboloide y la esfera es una circunferencia con radio 1, incluida en el plano z = 1, con centro en el punto (0,0,1),
observa también que la euación que encontramos es independiente de t, y que la circunferencia proyectada sobre el plano z = 0 es la frontera de un disco de radio 1, por lo tanto los límites de integración quedan:
0 <= r <= 1
0 <= t <= 2pi.
Por último, solo queda resolver:
Vol = Inttriple (1*dx*dy*dz) = (pasamos a coordenadas cilíndricas de eje z) = Intriple (1*r*dz*dr*dt) = etcétera, con los límites de integración que ya hemos indicado.
Espero haberte ayudado.

Muchísimas gracias!!! Voy a probar de resolverlo de esta forma... Saludos!!! :D :D :D

Mira esto, Alejandro:
http://www.geociencias.unam.mx/~ramon/EstInf/Clase12.pdf