Y que te piden buscar?

Según mi libro me pide demostrar las afirmaciones dadas. 

Gracias César, esa sería la única forma de demostrarlo o es una de las formas? 

Angulo exterior a un triángulo

Oh, cierto. Gracias!! 

Planteas la condición de cero de la función f, y queda la ecuación:

f(x) = 0, sustituyes la expresión de la función f, y queda:

3*x² - 3*x - 18 = 0, divides por 3 en todos los términos de esta ecuación, y queda:

x² - x - 6 = 0, que es una ecuación polinómica cuadrática, cuyas soluciones son:

x = -2 y x = 3,

por lo que tienes que la expresión factorizada de la función f (presta atención a su coeficiente principal: 3), queda:

f(x) = 3*(x + 2)*(x - 3).

Luego, como tienes que la función g tiene los mismos ceros que la función f, puedes plantear su expresión factorizada:

g(x) = A*(x + 2)*(x - 3) (1), con el coeficiente principal A a determinar;

luego, tienes la condición que cumple la función g:

g(1) = 24, sustituyes la expresión señalada (1) evaluada en el primer miembro, y queda:

A*(1 + 2)*(1 - 3) = 24, resuelves el coeficiente en el primer miembro, y queda:

-6*A = 24, divides por -6 en ambos miembros, y queda:

A = -4, reemplazas este valor en la expresión factorizada de la función g señalada (1), y queda:

g(x) = -4*(x + 2)*(x - 3), que al distribuir el segundo miembro, queda:

g(x) = -4*x² + 4*x +24, que es la expresión polinómica de la función g.

Espero haberte ayudado.

Recuerda que cada recta debe tener su parámetro propio, por lo que la forma correcta de presentar sus funciones vectoriales paramétricas sería:

L₁(t₁) = < 1 , 2 , 3 > + < 1 , 0 , -2 >*t₁, con t₁ ∈ R, 

L₂(t₂) = < 2 , 2 , 1 > + < -2 , 0 , 4 >*t₂, con t₁ ∈ R;

luego, observa que para la primera recta tienes:

que uno de sus vectores directores es: u₁ = < 1 , 0 , -2 >,

y que el vector posición de uno de sus puntos es: A = < 1 , 2 , 3 >;

luego, observa que para la segunda recta tienes:

que uno de sus vectores directores es: u₂ = < -2 , 0 , 4 >,

y que el vector posición de uno de sus puntos es: B = < 2 , 2 , 1 >.

Luego, observa que el vector director de la segunda recta es múltiplo escalar del vector director de la primera:

u₂ = < -2 , 0 , 4 > = -2*< 1 , 0 , -2 > = -2*u₁,

por lo que tienes que las rectas son paralelas.

Luego, sustituyes la expresión del vector posición A correspondiente a la primera recta, en el primer miembro de la expresión de la función vectorial paramétrica de la segunda recta, y queda:

< 1 , 2 , 3 > = < 2 , 2 , 1 > + < -2 , 0 , 4 >*t₂, restas < -2 , 0 , 4 >*t₂ y restas < 1 , 2 , 3 > en ambos miembros, y queda:

-< -2 , 0 , 4 >*t₂ = < 1 , 0 , -2 >, introduces el signo en el factor vectorial del primer miembro, y queda:

< 2 , 0 , - 4 >*t₂ = < 1 , 0 , -2 >, introduces el factor paramétrico en el primer miembro, y queda:

< 2*t₂ , 0 , -4*t₂ > = < 1 , 0 , -2 >;

luego, por igualdad entre expresiones vectoriales, igualas componente a componente, y queda:

2*t₂ = 1,

0 = 0,

-4*t₂ = -2,

y observa que la solución de este sistema es: t₂ = 1/2,

por lo que tienes que este es el valor del parámetro que permite ubicar al punto A en la segunda recta.

Luego, como tienes que las rectas son paralelas, y tienes también que el punto A pertenece a ambas rectas a la vez, entonces puedes concluir que las rectas son paralelas coincidentes.

Espero haberte ayudado.

Gracias, Antonio. Por lo que veo iba más o menos bien. 

Hola! No soy César, pero tu ejercicio me pareció interesante

Para resolver la ecuación definimos la variable auxiliar t=3^(×-1)

Ahora tenemos que descomponer la fracción 1/3^(x-3) en un número en que podamos reemplazar por t. Descomponemos 3^(x-3) en 3^(x-1-2). Ocupamos la propiedad de división de potencias de igual bases a la inversa. Transformamos la fracción en la división 1/3^x-1÷1/3²=1/3^x-1•3²=3²/3^x-1. Y reemplazamos con 3²=9 y 3^x-1=t

Ahora si podemos resolver la ecuación, pasando 10 restando y amplficando todo por t para obtener una ecuación de 2° grado.

Así, obtenemos t=1 y t=9, y reemplazamos por 3^x-1 para resolver 3^x-1=1  y  3^x-1=9. Cambiamos el 1 por 3⁰   y el 9 por 3² para poder igualar exponente y terminar con x=1 y x=3.

Vamos con una forma alternativa

Tienes la ecuación exponencial:

3^x-1 + 1/3^x-3 = 10,

multiplicas por 3x-3 en todos los términos (observa que simplificamos en el segundo término), y queda:

3^x-1*3^x-3 + 1 = 10*3^x-3,

aplicas la propiedad de la multiplicación de potencias con bases iguales en el primer término (recuerda que debes sumar las expresiones de sus exponentes), y queda:

3^2*x-4 + 1 = 10*3^x-3, 

aplicas la propiedad de la división de potencias con bases iguales en los factores exponenciales del primero y del último término, y queda:

3^2*x/3⁴ + 1 = 10*3^x/3³, 

multiplicas por 3⁴ en todos los términos (observa que simplificamos en el primero y en el último término), y queda:

3^2*x + 3⁴ = 10*3^x*3,

aplicas la propiedad de una potencia cuya base es otra potencia en el primer término, resuelves el segundo término, resuelves el coeficiente en el último término, y queda:

(3^x)² + 81 = 30*3^x (1);

luego, aquí puedes plantear la sustitución (cambio de incógnita):

3^x = w (2) (aquí observa que w puede tomar valores estrictamente positivos),

sustituyes la expresión señalada (2) en el primero y en el último término de la ecuación señalada (1), y queda:

w² + 81 = 30*w, 

restas 30*w en ambos miembros, y queda:

w² - 30*w + 81 = 0,

que es una ecuación polinómica cuadrática, cuyas soluciones son:

1°)

w = 3, que al reemplazar en la ecuación señalada (2), queda:

3^x = 3, que al componer en ambos miembros con la función logarítmica en base tres queda:

x = 1;

2°)

w = 27, que al reemplazar en la ecuación señalada (2), queda:

3^x = 27, que al componer en ambos miembros con la función logarítmica en base tres queda:

x = 3.

Espero haberte ayudado.

Efectivamente tuve un gazapo imperdonable   

lo completo y te cuento a ver

Vamos con una orientación.

Observa que tanto el numerador como el denominador del argumento del límite tienden a cero; luego, puedes plantear la sustitución (cambio de variables):

x - 3 = u, y observa que u tiende a cero cuando x tiende a 3,

y - 4 = v, y observa que v tiende a cero cuando y tiende a 4.

Luego, sustituyes expresiones en el límite de tu enunciado, y queda el límite finito:

Lím[(u,v)→(0,0)] u²⁵/(u² + v²) = 0;

luego, puedes aplicar el Teorema de Acotación (o Teorema de Encaje) para demostrar:

0 ≤ |f(u,v) - L| = |u²⁵/(u² + v²) - 0| = |u²⁵/(u² + v²)| = |u²³*u²/(u² + v²)| = 

= |u²³|*|u²/(u² + v²)| ≤ |u²³|*1 = |u²³|→0,

por lo que tienes que el límite L = 0 es válido.

Espero haberte ayudado.

y una vez tienes las nuevas coordenadas u y v no podrías pasarlo a coordenadas polares? yo pensé en hacerlo así pero claro es el límite cuando tiende a (3,4) así que tampoco se me ocurre a que puede tender 'p' (mi incógnita cuando lo paso a polares). Lo digo principalmente porque nunca he dado el teorema que me expones. En que consiste? 

Disculpe las molestias.

Vamos con un planteo vectorial.

Puedes plantear las expresiones de los vectores, a los que agregamos una tercera componente igual a cero:

u = OP = < 7-0 , -1-0 , 0 > = < 7 , -1 , 0 >,

v = OQ = < -2-0 , 11-0 , 0 > = < -2 , 11 , 0 >;

luego, planteas la expresión del producto vectorial de los dos vectores, y queda:

u x v = < 7 , -1 , 0 > x < -2 , 11 , 0 > = < 0 , 0 , 75 >, cuyo módulo es |u x v| = 75;

luego, recuerda la propiedad: el área del triángulo determinado por dos vectores que no son paralelos es igual a la mitad del módulo del producto vectorial de dichos vectores, por lo que tienes que el área del triángulo queda:

A_T = (1/2)*|u x v| =(1/2)*75 = 75/2.

Espero haberte ayudado.