Hay varias formas de resolverlo,yo le propongo que parta de las opciones (es largo,pero supongo que tiene el tiempo )

Recuerde que de las parametricas puede obtener una expresión que involucre solo a x y a y despejando t y usando álgebra elemental...al final llegará a que con una de las parametricas no obtendrá la misma expresión en x e y

Espero esto le sea de ayuda(una manera más corta)

La ecuación de una recta en el espacio se obtiene especificando un punto sobre la recta y UN vector(no es único) paralelo a esta recta.

Álgebra lineal grossman quinta edición capítulo 3 pág 276

A,C

Para iniciar recuerde que puede simplificar la Exponencial que acompaña a la z al cubo,también puede simplificar i a la 1227 (las potencias de i son cíclicas) 

se trata de que DESPUES DE IR A CLASE (ver los vídeos relacionados con vuestras dudas) enviéis dudas concretas, muy concretas. Y que nos enviéis también todo aquello que hayais conseguido hacer por vosotros mismos. Paso a paso, esté bien o mal. No solo el enunciado. De esa manera podremos saber vuestro nivel, en que podemos ayudaros, cuales son vuestros fallos.... Y el trabajo duro será el vuestro. Nos cuentas ¿ok? #nosvemosenclase

Gracias, es lo de las fórmulas?

De la segunda ecuación puedes despejar:

y = b*x + a (1),

que es la ecuación cartesiana explícita de una recta, cuya pendiente es b, y cuya ordenada al origen es a.

Luego, considera cada opción por separado:

A)

Observa que la recta tiene pendiente positiva y distinta de cero, y ordenada al origen negativa y distinta de cero, por lo que puedes plantear (observa que aplicamos propiedades de la función valor absoluto):

b = |b| y a = -|a|;

luego, tienes la primera ecuación de tu enunciado:

a*x² + b*y² = a*b, sustituyes expresiones en la primera ecuación de tu enunciado, y queda:

-|a|*x² + |b|*y² = -|a|*|b|, divides en todos los términos por -|a|*|b|, y queda:

x²/|b| - y²/|a| = 1,

que es la ecuación cartesiana canónica de una hipérbola con centro de simetría C(0,0), y con eje focal OX,

que es lo que tienes representado en esta opción, por lo que puedes concluir que la opción señalada A si es posible.

B)

Observa que la recta tiene pendiente negativa y distinta de cero, y ordenada al origen positiva y distinta de cero, por lo que puedes plantear (observa que aplicamos propiedades de la función valor absoluto):

b = -|b| y a = |a|;

luego, tienes la primera ecuación de tu enunciado:

a*x² + b*y² = a*b, sustituyes expresiones en la primera ecuación de tu enunciado, y queda:

|a|*x² - |b|*y² = -|a|*|b|, divides en todos los términos por -|a|*|b|, y queda:

-x²/|b| + y²/|a| = 1,

que es la ecuación cartesiana canónica de una hipérbola con centro de simetría C(0,0), y con eje focal OY,

que es lo que tienes representado en esta opción, por lo que puedes concluir que la opción señalada B si es posible.

C)

Observa que la recta tiene pendiente positiva y distinta de cero, y ordenada al origen positiva y distinta de cero, por lo que puedes plantear (observa que aplicamos propiedades de la función valor absoluto):

b = |b| y a = |a|;

luego, tienes la primera ecuación de tu enunciado:

a*x² + b*y² = a*b, sustituyes expresiones en la primera ecuación de tu enunciado, y queda:

|a|*x² + |b|*y² = |a|*|b|, divides en todos los términos por |a|*|b|, y queda:

x²/|b| + y²/|a| = 1,

que es la ecuación cartesiana canónica de una elipse con centro de simetría C(0,0),

que es lo que tienes representado en esta opción, por lo que puedes concluir que la opción señalada C si es posible.

D)

Observa que la recta tiene pendiente negativa y distinta de cero, y ordenada al origen positiva y distinta de cero, por lo que puedes plantear (observa que aplicamos propiedades de la función valor absoluto):

b = -|b| y a = |a|;

luego, tienes la primera ecuación de tu enunciado:

a*x² + b*y² = a*b, sustituyes expresiones en la primera ecuación de tu enunciado, y queda:

|a|*x² - |b|*y² = -|a|*|b|, divides en todos los términos por -|a|*|b|, y queda:

-x²/|b| + y²/|a| = 1,

que es la ecuación cartesiana canónica de una hipérbola con centro de simetría C(0,0), y eje focal OY,

que no es lo que tienes representado en esta opción, por lo que puedes concluir que la opción señalada D no es posible.

Espero haberte ayudado.

Mil gracias Jose. Pero el procedimiento que planteé yo no es correcto?

Tu procedimiento es correcto, pero has hecho mal los cálculos.   Si sustituyes bien por los valores en el teorema del coseno te saldrá cos B = - 0,175  y B = 100º.   Yo en mi solución no tuve en cuenta una cuestión que a veces se produce al aplicar el teorema de los senos y te dí como solución B = 80º   (La solución correcta es B = 100º y sale de que sen B = 0,985 provoca que B sea 80º o 100º y en el caso de tu problema la solución es 100º)

Te lo vuelvo a hacer de las dos formas:

Muchísimas gracias Jose. Eres muy muy amable

se trata de que DESPUES DE IR A CLASE (ver los vídeos relacionados con vuestras dudas) enviéis dudas concretas, muy concretas. Y que nos enviéis también todo aquello que hayais conseguido hacer por vosotros mismos. Paso a paso, esté bien o mal. No solo el enunciado. De esa manera podremos saber vuestro nivel, en que podemos ayudaros, cuales son vuestros fallos.... Y el trabajo duro será el vuestro. Nos cuentas ¿ok? #nosvemosenclase ;-)

Puedes demostrar por Reducción al Absurdo.

Supuesto Absurdo: p(x) = x² - 2 (1) si es reducible en el conjunto Q(x).

Luego, como el polinomio es reducible en el conjunto de los números racionales, entonces su expresión factorizada es:

p(x) = (x - a)*(x - b), con a ∈ Q ∧ b ∈ Q.

Luego, distribuyes la expresión del polinomio, y queda:

p(x) = x² - a*x - b*x + a*b, extraes factor común (-x) entre los términos lineales, y queda:

p(x) = x² - (a + b)*x + a*b (2),

que es la expresión desarrollada del polinomio.

Luego, comparas coeficientes entre las expresiones del polinomio señaladas (2) (1), y queda el sistema de ecuaciones:

-(a + b) = 0, de aquí despejas: b = -a (3),

a*b = -2;

luego, sustituyes la expresión señalada (3) en la segunda ecuación, resuelves el coeficiente en el primer miembro, y queda:

-a2 = -2, divides por -1 en ambos miembros, y queda:

a² = 2, extraes raíz cuadrada en ambos miembros, y tienes dos opciones:

1°)

a = -√(2), que al sustituir en la ecuación señalada (3) conduce a: b = √(2),

lo que contradice el supuesto señalado (1), porque los dos valores que hemos determinado no pertenecen al conjunto de los números racionales;

2°)

a = √(2), que al sustituir en la ecuación señalada (3) conduce a: b = -√(2),

lo que contradice el supuesto señalado (1), porque los dos valores que hemos determinado no pertenecen al conjunto de los números racionales.

Luego, puedes concluir que el polinomio cuya expresión tienes en tu enunciado no admite raíces racionales y, por lo tanto, es irreducible en el conjunto de los números racionales.

Espero haberte ayudado.

La única forma de factorizar x²-2 es (x-√2)(x+√2), pero ±√2  no es un número racional, por lo que x²-2 no se puede factorizar en Q, por tanto es irreducible en Q(x).

Tienes los criterios de Einsentein y el lema de Gauss, que no son sencillos de manejar

https://www.youtube.com/watch?v=8iuJiqmqLGA

En realidad es un error darte α, cuando la notación de ángulos en la figura es A, B y C. No necesariamente ha de ser α el ángulo A, pero puedes intentar hacer el ejercicio suponiendo que así es.

El segundo está perfecto. En el primero, una de las soluciones de y es -1 (no -2). De todos modos para y = -1  x no tiene solución.  El proceso es correcto.