Derivando dos veces la expresión que tienes respecto del tiempo hallarás la posición, finalmente es sustituir el valor de t

Yo lo haría así

Observa que, por el Teorema Fundamental del cálculo integral, puedes llamar F a la función primitiva de f.

Luego, tienes la integral del primer miembro de la ecuación de tu enunciado:

I₁ = _a∫^x (x-t)*f(t)*dt,

aquí planteas el Método de Integración por partes, y queda:

u = x-t, de donde tienes: du = -dt,

dv = f(t)*dt, de donde tienes (por el TFCI): v = F(t);

luego, aplicas el método y queda (indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow):

I₁ = [ (x-t)*F(t) ] - _a∫^x F(t)*(-dt),

evalúas el primer término entre t = a y t = x, resuelves el signo en el segundo término, y queda:  

I₁ = (x-x)*F(x) - (x-a)*F(a) + _a∫^x F(t)*dt, 

cancelas el término nulo, y queda:

I₁ = -(x-a)*F(a) + _a∫^x F(t)*dt.

Luego, tienes la integral del segundo miembro de la ecuación de tu enunciado:

I₂ = _a∫^x ( _a∫^t f(s)*ds )*dt,

luego, por el TFCI, planteas la resolución de la primera integral (indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow entre s = a y s = t), y queda:

I₂ = _a∫^x [ F(s) ]*dt,

evalúas el argumento de la integral, y queda:

I₂ = _a∫^x ( F(t) - F(a) )*dt,

aplicas la propiedad de la integral de una suma de funciones, y queda:

I₂ = _a∫^x F(t)*dt - _a∫^x F(a)*dt,

extraes el factor constante de la segunda integral, y queda:

I₂ = _a∫^x F(t)*dt - F(a)*_a∫^x 1*dt,

resuelves la integral del segundo término (indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow entre t = a y t = x), y queda: 

I₂ = _a∫^x F(t)*dt - F(a)*[ t ],

evalúas el segundo factor del segundo término, y queda:

I₂ = _a∫^x F(t)*dt - F(a)*(x-a),

permutas factores en el segundo término, luego permutas términos, y queda:

I₂ = -(x-a)*F(a) + _a∫^x F(t)*dt.

Luego, puedes ver que las dos expresiones remarcadas son iguales.

Espero haberte ayudado.

Muchisimas gracias en vdd se lo agradeco de todo corazon ya llevaba tiempito con ede problema muy amable ^^

El resultado sería, pues, 50.

Puedes denominar d a la diferencia entre dos elementos consecutivos de la sucesión aritmética.

Luego, tienes para el primero y el segundo elemento:

x = 75 + d (1);

y tienes para el segundo y el tercer elemento:

25 = x + d (2).

Luego, sustituyes la expresión señalada (1) en la ecuación señalada (2), y queda:

25 = 75 + d + d, restas 75 en ambos miembros, reduces términos semejantes, y queda:

-50 = 2d, divides por 2 en ambos miembros, y queda:

-25 = d;

luego, reemplazas el valor remarcado en la ecuación señalada (1), resuelves, y queda:

x = 50,

y observa que los valores remarcados satisfacen la ecuación señalada (2).

Espero haberte ayudado.