Hola,
Por favor podrían ayudarme con esta pregunta?
No hemos visto nada de integrales elípticas, a penas vamos con integrales definidas, sólo que no sé si esto se calcula con longitud de arco o cómo se calcula, no entiendo.
Agradecería su ayuda.
Por seguridad el propietario quiere colocarle cerca eléctrica a la casa, para esto debe conocer ¿Cuántos metros lineales de cerca necesita?. Use técnicas de integración y en el caso que la integral no tenga primitiva, puede usar un software con su respectiva referencia.
Recuerda la expresión de la longitud de arco de curva, cuya ecuación es: y = f(x), en un intervalo cerrado genérico: [a,b]:
Lab = a∫b √( 1 + f '(x)2 )*dx.
Luego, te ayudamos con las expresiones de las longitudes de arco de los nueve tramos, y observa que comenzamos desde el origen de coordenadas y recorremos el contorno con sentido antihorario, y observa también que para los tramos rectos hemos empleado consideraciones geométricas, mientras que reservamos las expresiones integrales para los demás tramos, a fin de tener la menor cantidad de cálculos posible.
1°)
Tramo parabólico:
observa que la parábola correspondiente tiene eje de simetría: y = 2, y que su vértice es V(2,-4), por lo que su ecuación canónica es:
y = (x - 2)2 + 4, con el intervalo: [0,4], y observa que la expresión de la función derivada correspondiente queda: f ' (x) = 2(x - 2) = 2x - 4;
por lo que la expresión de su longitud de arco queda:
L1 = 0∫4 √( 1 + (2x - 4)2 )*dx,
y queda que resuelvas esta integral (observa que debes aplicar una sustitución).
2°)
Tramo recto horizontal:
observa que aquí el intervalo es: [4,7], y que su longitud (que es evidente a partir de la figura) es:
L2 = 3.
3°)
Tramo recto inclinado:
observa que aquí trazas una recta vertical a partir del vértice superior (2π,4), y tienes un triángulo rectángulo cuya hipotenusa tiene la medida de la longitud de arco, cuya base mide: (7 - 2π), y cuya altura mide: 4, por lo que aplicas el Teorema de Pitágoras, y su longitud queda expresada:
L3 = √( (7 - 2π)2 + 42 ).
4°)
Tramo senoidal:
observa que el intervalo es: [0,2π], y que la expresión de la función derivada correspondiente queda: f ' (x) = cosx;
por lo que la expresión de su longitud de arco queda:
L4 = 0∫2π √( 1 + cos2x )*dx,
y queda que resuelvas esta integral, aquí sí por medio de algún recurso informático, como sugieren en tu enunciado.
5°)
Tramo recto inclinado:
observa que aquí trazas una recta horizontal a partir del vértice izquierdo (-2,3), y tienes un triángulo rectángulo cuya hipotenusa tiene la medida de la longitud de arco, cuya base mide: 2, y cuya altura mide: 1, por lo que aplicas el Teorema de Pitágoras, y su longitud queda expresada:
L5 = √(22 + 12) = √(4 + 1) = √(5).
6°)
Tramo recto inclinado:
observa que aquí trazas una recta vertical a partir del vértice inferior (-1,1), y tienes un triángulo rectángulo cuya hipotenusa tiene la medida de la longitud de arco, cuya base mide: 1, y cuya altura mide: 2, por lo que aplicas el Teorema de Pitágoras, y su longitud queda expresada:
L3 = √(12 + 22) = √(1 + 4) = √(5).
7°)
Tramo recto inclinado:
observa que aquí trazas una recta vertical a partir del vértice superior (-1,1), y tienes un triángulo rectángulo cuya hipotenusa tiene la medida de la longitud de arco, cuya base mide: 1, y cuya altura mide: 1, por lo que aplicas el Teorema de Pitágoras, y su longitud queda expresada:
L3 = √(12 + 12) = √(1 + 1) = √(2).
8°)
Tramo recto inclinado:
observa que aquí trazas una recta vertical a partir del vértice inferior (-1,-1), y tienes un triángulo rectángulo cuya hipotenusa tiene la medida de la longitud de arco, cuya base mide: 1, y cuya altura mide: 1, por lo que aplicas el Teorema de Pitágoras, y su longitud queda expresada:
L8 = √(12 + 12) = √(1 + 1) = √(2).
9°)
Tramo recto inclinado:
observa que aquí trazas una recta vertical a partir del vértice inferior (-1,-1), y tienes un triángulo rectángulo cuya hipotenusa tiene la medida de la longitud de arco, cuya base mide: 1, y cuya altura mide: 1, por lo que aplicas el Teorema de Pitágoras, y su longitud queda expresada:
L8 = √(12 + 12) = √(1 + 1) = √(2).
Luego, tienes que la longitud del recorrido es igual a la suma de las longitudes de los nueve tramos.
Espero haberte ayudado.
