Puedes comenzar por factorizar el numerador y el denominador del argumento de la raíz cuarta (observa que se trata de dos expresiones polinómicas cuadráticas), y queda:
f(x) = (x - 3)*(x + 1) / (x + 4)*(x + 3).
Luego, observa que deben cumplirse dos condiciones:
1°)
El denominador del argumento debe ser distinto de cero, por lo que tienes dos opciones:
a)
x + 4 ≠ 0, aquí despejas, y queda:
x ≠ - 4 (1),
b)
x + 3 ≠ 0, aquí despejas, y queda:
x ≠ -3 (2).
2°)
El argumento de la raíz cuarta debe ser positivo, por lo que tienes ocho opciones:
a)
x - 3 ≥ 0, y x + 1 ≥ 0, y x + 4 > 0, y x + 3 > 0, despejas en estas cuatro inecuaciones, y queda:
x ≥ 3, y x ≥ -1, y x > -4, y x > -3, y observa que el intervalo solución de esta opción queda expresado por la inecuación:
x ≥ 3 (3);
b)
x - 3 ≤ 0, y x + 1 ≤ 0, y x + 4 < 0, y x + 3 < 0, despejas en estas cuatro inecuaciones, y queda:
x ≤ 3, y x ≤ -1, y x < -4, y x < -3, y observa que el intervalo solución de esta opción queda expresado por la inecuación:
x < -4 (4);
c)
x - 3 ≥ 0, y x + 1 ≥ 0, y x + 4 < 0, y x + 3 < 0, despejas en estas cuatro inecuaciones, y queda:
x ≥ 3, y x ≥ -1, y x < -4, y x < -3, y observa que el intervalo solución de esta opción es el intervalo vacío;
d)
x - 3 ≤ 0, y x + 1 ≤ 0, y x + 4 > 0, y x + 3 > 0, despejas en estas cuatro inecuaciones, y queda:
x ≤ 3, y x ≤ -1, y x > -4, y x > -3, y observa que el intervalo solución de esta opción queda expresado por la inecuación doble:
-3 < x ≤ -1 (5);
e)
x - 3 ≥ 0, y x + 1 ≤ 0, y x + 4 > 0, y x + 3 < 0, despejas en estas cuatro inecuaciones, y queda:
x ≥ 3, y x ≤ -1, y x > -4, y x < -3, y observa que el intervalo solución de esta opción es el intervalo vacío;
f)
x - 3 ≥ 0, y x + 1 ≤ 0, y x + 4 < 0, y x + 3 > 0, despejas en estas cuatro inecuaciones, y queda:
x ≥ 3, y x ≤ -1, y x < -4, y x > -3, y observa que el intervalo solución de esta opción es el intervalo vacío;
g)
x - 3 ≤ 0, y x + 1 ≥ 0, y x + 4 > 0, y x + 3 < 0, despejas en estas cuatro inecuaciones, y queda:
x ≤ 3, y x ≥ -1, y x > -4, y x < -3, y observa que el intervalo solución de esta opción es el intervalo vacío;
h)
x - 3 ≤ 0, y x + 1 ≥ 0, y x + 4 < 0, y x + 3 > 0, despejas en estas cuatro inecucaciones, y queda:
x ≤ 3, y x ≥ -1, y x < -4, y x > -3, y observa que el intervalo solución de esta opción es el intervalo vacío.
Luego, a partir de las ecuaciones negadas remarcadas y señaladas (1) (2), y de las inecuaciones remarcadas y numeradas (3) (4) (5), puedes concluir que el dominio de la función es el intervalo:
D = ( -∞ ; -4 ) ∪ ( -3 ; -1 ] ∪ [ 3 ; +∞).
Espero haberte ayudado.