Observa que la expresión factorizada del argumento del valor absoluto es: (x - 3)*(x + 1),

y observa que esta expresión toma valores negativos en el intervalo en estudio: [0,2],

por lo que la expresión de la función de tu enunciado puede escribirse:

f(x) = -(x² - 2x - 3)/(x + 4), distribuyes el signo en el numerador, y queda:

f(x) = (-x² + 2x + 3)/(x + 4) (1).

y observa que es continua en el intervalo cerrado: [0,2];

luego, planteas la expresión de la función derivada, aplicas la Regla de la División de Funciones para derivar la expresión de la función señalada (1), y queda:

f'(x) = [(-2x + 2)*(x + 4) - (-x² + 2x + 3)*1]/(x + 4)², distribuyes y reduces términos semejantes en el numerador, y queda:

f(x) = (-x² - 8x + 5)/(x + 4)² (2),

y observa que es continua en el intervalo abierto (0,2)  (2).

Luego, tienes:

a) que la función f es continua en el intervalo cerrado [0,2],

b) que la función f es derivable en el intervalo abierto (0,2);

por lo que aplicas el Teorema del Valor Medio, y puedes afirmar que existe un valor c perteneciente al intervalo abierto (0,2), tal que se cumple:

[f(2) - f(0)]/(2 - 0) = f'(c); 

reemplazas los valores de la función evaluada en el numerador del primer miembro, resuelves el denominador, sustituyes la expresión de la función derivada evaluada para el valor genérico c en el segundo miembro, y queda:

(1/2 - 3/4)/2 = (-c² - 8c + 5)/(c + 4)²,

resuelves el primer miembro, y queda:

-1/8 = (-c² - 8c + 5)/(c + 4)²,

multiplicas en ambos miembros por 8 y por (c + 4)², y queda:

-(c + 4)² = 8*(-c² - 8c + 5),

desarrollas ambos miembros, y queda:

-c² - 8c - 16 = -8c² - 64c + 40,

sumas 8c² y sumas 64c en ambos miembros, restas 40 en ambos miembros, y queda:

7c² + 56c - 56 = 0,

divides por 7 en todos los términos, y queda:

c² + 8c - 8 = 0,

que es una ecuación polinómica cuadrática, cuyas soluciones son:

a)

c = [-8 - √(96)]/2 ≅ -8,899, que no pertenece al intervalo abierto (0,2),

b)

c = [-8 + √(96)]/2 ≅ 0,899, que sí pertenece al intervalo abierto (0,2).

Espero haberte ayudado.

Métodos númericos https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve++50000%3D+1037.92+*+%281-%281%2Bx%29%5E%28-60%29%29%2F%28x%29

Puedes proponer las sustituciones (cambios de incógnitas):

logx = r (1),

logy = s (2);

luego, sustituyes las expresiones señaladas (1) (2), y el sistema de ecuaciones de tu enunciado queda:

3*r - 2*s = 3 (3),

r + s = 1, de aquí despejas: s = 1 - r (4);

luego, sustituyes la expresión señalada (4) en la ecuación señalada (3), y queda:

3*r - 2*(1 - r) = 3, distribuyes el segundo término, reduces términos semejantes en el primer miembro, y queda:

5*r - 2 = 3, sumas 2 en ambos miembros, luego divides por 5 en ambos miembros, y queda: r = 1 (5);

luego, reemplazas el valor señalado (5) en la ecuación señalada (4), resuelves, y queda: s = 0 (6);

luego, reemplazas el valor señalado (5) en la ecuación señalada (1), reemplazas el valor señalado (6) en la ecuación señalada (2), y queda:

logx = 1,

logy = 0;

luego, compones en ambos miembros de ambas ecuaciones con la función inversa del logaritmo decimal, y queda:

x = 10,

y = 1.

Espero haberte ayudado.

Puedes comenzar por factorizar el numerador y el denominador del argumento de la raíz cuarta (observa que se trata de dos expresiones polinómicas cuadráticas), y queda:

f(x) = (x - 3)*(x + 1) / (x + 4)*(x + 3).

Luego, observa que deben cumplirse dos condiciones:

1°)

El denominador del argumento debe ser distinto de cero, por lo que tienes dos opciones:

a)

x + 4 ≠ 0, aquí despejas, y queda:

x ≠ - 4 (1),

b)

x + 3 ≠ 0, aquí despejas, y queda:

x ≠ -3 (2).

2°)

El argumento de la raíz cuarta debe ser positivo, por lo que tienes ocho opciones:

a)

x - 3 ≥ 0, y x + 1 ≥ 0, y x + 4 > 0, y x + 3 > 0, despejas en estas cuatro inecuaciones, y queda:

x ≥ 3, y x ≥ -1, y x > -4, y x > -3, y observa que el intervalo solución de esta opción queda expresado por la inecuación:

x ≥ 3 (3);

b)

x - 3 ≤ 0, y x + 1 ≤ 0, y x + 4 < 0, y x + 3 < 0, despejas en estas cuatro inecuaciones, y queda:

x ≤ 3, y x ≤ -1, y x < -4, y x < -3, y observa que el intervalo solución de esta opción queda expresado por la inecuación:

x < -4 (4);

c)

x - 3 ≥ 0, y x + 1 ≥ 0, y x + 4 < 0, y x + 3 < 0, despejas en estas cuatro inecuaciones, y queda:

x ≥ 3, y x ≥ -1, y x < -4, y x < -3, y observa que el intervalo solución de esta opción es el intervalo vacío;

d)

x - 3 ≤ 0, y x + 1 ≤ 0, y x + 4 > 0, y x + 3 > 0, despejas en estas cuatro inecuaciones, y queda:

x ≤ 3, y x ≤ -1, y x > -4, y x > -3, y observa que el intervalo solución de esta opción queda expresado por la inecuación doble:

-3 < x ≤ -1 (5);

e)

x - 3 ≥ 0, y x + 1 ≤ 0, y x + 4 > 0, y x + 3 < 0, despejas en estas cuatro inecuaciones, y queda:

x ≥ 3, y x ≤ -1, y x > -4, y x < -3, y observa que el intervalo solución de esta opción es el intervalo vacío;

f)

x - 3 ≥ 0, y x + 1 ≤ 0, y x + 4 < 0, y x + 3 > 0, despejas en estas cuatro inecuaciones, y queda:

x ≥ 3, y x ≤ -1, y x < -4, y x > -3, y observa que el intervalo solución de esta opción es el intervalo vacío;

g)

x - 3 ≤ 0, y  x + 1 ≥ 0, y x + 4 > 0, y x + 3 < 0, despejas en estas cuatro inecuaciones, y queda:

x ≤ 3, y x ≥ -1, y x > -4, y x < -3, y observa que el intervalo solución de esta opción es el intervalo vacío;

h)

x - 3 ≤ 0, y  x + 1 ≥ 0, y x + 4 < 0, y x + 3 > 0, despejas en estas cuatro inecucaciones, y queda:

x ≤ 3, y x ≥ -1, y x < -4, y x > -3, y observa que el intervalo solución de esta opción es el intervalo vacío.

Luego, a partir de las ecuaciones negadas remarcadas y señaladas (1) (2), y de las inecuaciones remarcadas y numeradas (3) (4) (5), puedes concluir que el dominio de la función es el intervalo:

D = ( -∞ ; -4 ) ∪ ( -3 ; -1 ] ∪ [ 3 ; +∞).

Espero haberte ayudado.

Se trata de que DESPUES DE IR A CLASE (ver los vídeos relacionados con vuestras dudas) enviéis dudas concretas, muy concretas. Y que nos enviéis siempre también todo aquello que hayais conseguido hacer por vosotros mismos. Paso a paso, esté bien o mal. No solo el enunciado. De esa manera podremos saber vuestro nivel, en que podemos ayudaros, cuales son vuestros fallos.... Y el trabajo duro será el vuestro.

a)

Observa que tienes una ecuación polinómica de grado cinco, por lo que tienes que admite al menos una raíz real (observa que su grado es impar), y a lo sumo cinco raíces reales.

Luego, evalúas la expresión de la función cuya expresión tienes en el primer miembro de la ecuación (observa que es continua en R), y tienes:

f(-2) < 0,

f(-1) > 0,

f(0) > 0,

f(1) < 0,

f(2) > 0,

f(3) > 0;

luego, de acuerdo con el Teorema de Bolzano, puedes concluir que la función presenta:

al menos una raíz en el intervalo (-2,-1),

al menos una raíz en el intervalo (0,1),

al menos una raíz en el intervalo (1,2),

y como los tres intervalos son disjuntos, puedes concluir que la ecuación de tu enunciado tiene al menos tres soluciones reales.

b)

Observa que la función es discontinua en x = 2, por lo que no puede aplicarse el Teorema de Bolzano en ningún intervalo cerrado que contenga a este valor, ya que una de sus hipótesis establece que la función debe ser continua en el intervalo cerrado en estudio.

Espero haberte ayudado.