la función es continua en x=2 pues f(2)=lim_x->2f(x)=4

y por otro lado lim_x->1f(x)=1

efectivamente no sería un rombo .

Gracias Cesar

El paréntesis en la segunda ecuación.

Distancia de un punto a un plano

Tienes la ecuación cartesiana implícita del plano:

2x - y + 2z + 1 = 0 (1),

y observa que la expresión de uno de sus vectores normales es: u = < 2 , -1 , 2 >,

y observa que el punto P(4,6,0) no pertenece al plano.

Luego, planteas las ecuaciones cartesianas paramétricas de la recta perpendicular al plano que pasa por el punto P, cuyo vector director es u, y queda:

x = 4 + 2t (2),

y = 6 - t (3),

z = 2t (4), 

con t ∈ R.

Luego, sustituyes las expresiones señaladas (2) (3) (4) en la ecuación señalada (1), y queda:

2(4 + 2t) - (6 - t) + 2(2t) + 1 = 0, distribuyes términos, y queda:

8 + 4t - 6 + t + 4t + 1 = 0, reduces términos semejantes, y queda:

9t + 3 = 0, restas 3 en ambos miembros, y queda:

9t = -3, divides por 9 en ambos miembros, y queda:

t = -1/3, que es el valor del parámetro que corresponde al punto de intersección del plano con la recta perpendicular a él;

luego, reemplazas este valor del parámetro en las ecuaciones señaladas (2) (3) (4), y queda:

x = 10/3,

y = 19/3,

z = -2/3,

que son las coordenadas del punto de intersección, cuya expresión es: 

Q(10/3,19/3,-2/3),

y puedes verificar que este punto pertenece al plano y a la recta al mismo tiempo.

Luego, observa que la distancia entre el plano y el punto P es igual a la distancia entre el punto P y el punto Q, por lo que puedes plantear:

Dist(plano,P) = Dist(QP), expresas a la distancia entre los dos puntos en función de sus coordenadas, y queda:

Dist(plano,P) = √( (4-10/3)² + (6-19/3)² + (0+2/3)² ), resuelves agrupamientos, y queda:

Dist(plano,P) = √( (2/3)² + (-1/3)² + (2/3)² ), resuelves potencias, y queda:

Dist(plano,P) = √( 4/9 + 1/9 + 4/9 ), resuelves el argumento de la raíz, y queda:

Dist(plano,P) = √( 1 ), resuelves la raíz, y queda:

Dist(plano,P) = 1,

por lo que tienes que la opción señalada (a) es la respuesta correcta.

Espero haberte ayudado.

Punto simetrico a una recta

Ten en cuenta que el punto P pertenece a la recta r

Tienes la ecuación vectorial paramétrica de la recta que es el eje de simetría, cuyo vector director es: u = < 0 , 1 , 1 >,

y a partir de ella planteas las ecuaciones cartesianas paramétricas de la recta, y queda:

x = 1 (1),

y = λ (2),

z = λ (3),

con λ ∈ R.

Luego, planteas la ecuación cartesiana implícita del plano perpendicular a la recta que pasa por el punto P(1,0,1) (observa que su vector normal es el vector director de la recta), y queda:

0*(x - 1) + 1*(y - 0) + 1*(z - 1) = 0, aquí distribuyes en todos los términos, cancelas términos nulos, y queda:

y + z - 1 = 0 (4).

Luego, reemplazas las expresiones señaladas (1) (2) (3) (en realidad, solo las dos últimas), y queda:

λ + λ - 1 = 0, y de aquí despejas: λ = 1/2;

luego, reemplazas este valor en las ecuaciones paramétricas de la recta, y queda:

x = 1,

y = 1/2,

z = 1/2,

por lo que tienes que el punto de intersección entre la recta y el plano perpendicular a ella es: A(1,1/2,1/2).

Luego, planteas la expresión del vector aplicado en el punto P con extremo en el punto A, y queda:

PA = < 1-1 , 1/2-0 , 1/2-1 >, resuelves componentes, y queda: 

PA = < 0 , 1/2 , -1/2 > (5).

Luego, planteas la expresión del vector aplicado en el punto A con extremo en el punto P'(a,b,c), y queda:

AP' = < a-1 , b-1/2 , c-1/2 > (6).

Luego, como tienes en tu enunciado que los puntos P y P' son simétricos con respecto a la recta eje, entonces tienes que los vectores PA y AP' son colineales, con igual sentido, y con módulos iguales, por lo que puedes plantear la ecuación vectorial:

AP' = PA, sustituyes las expresiones señaladas (6) (5), y queda:

< a-1 , b-1/2 , c-1/2 > = < 0 , 1/2 , -1/2 >;

luego, por igualdad entre expresiones vectoriales, igualas componente a componente, y queda el sistema:

a - 1 = 0, de aquí despejas: a = 1,

b - 1/2 = 1/2, y de aquí despejas: b = 1,

c - 1/2 = -1/2, y de aquí despejas: c = 0,

por lo que tienes que la expresión del punto simétrico al punto P con respecto a la recta eje es:

P'(1,1,0),

y puedes concluir que la opción señalada (b) es la respuesta correcta.

Espero haberte ayudado.

a) f(x)=2x+n

b) f(x)=1+m(x-2)

c) f(x)=2x-3

6. f(-3)=1

7. pendiente -1

8. f(x)=2x²-12x+18

    f(x)=-x²-5/2x+1

9. no se puede hacer, existe una contradicción en el enunciado al decir que f(-1)=6 Λ 0

Una pregunta con respecto a   b) f(x)=1+m(x-2),

El numero 1 es  la intersección de la recta con el eje Y, eso es lo que significa para mi en la expresión que has escrito, pero en el problema de dice f(2)=1 y entiendo que eso es y=1 cuando x=2.

Podrías explicarme como lo hiciste, por favor.

como f(x)=1+m(x-2) entonces  f(2)=1+m(2-2)=1+m*0=1+0=1 que es lo que se pedía