Yo tampoco entiendo la pregunta... 

Muchas Gracias Antonius!! Me has ayudado enormemente ☺

Hola Patricia,

por algún motivo no has adjuntado las imágenes, para poder ayudarte necesitaríamos enunciados y el desarrollo de las respuestas que hayas intentando.

Un saludo,

Vlad

Vamos con una orientación.

Observa que la gráfica de la función f es un paraboloide de revolución con eje OZ, cuyo vértice es (0,0,8), y la ecuación de este paraboloide es:

z = 8 - x² - y² (1).

Observa que la segunda ecuación corresponde a un paraboloide elíptico con eje OZ, cuyo vértice es (0,0,0), cuya ecuación es:

z = x² + 3y² (2).

Observa que el segundo paraboloide es el límite inferior del sólido, y que el primer paraboloide es su límite superior;

luego, planteas la expresión del volumen del sólido (B), y queda:

V = ∫∫∫_B 1*dz*dx*dy, integras para la variable z (indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:

V = ∫∫∫_B [z]*dx*dy, evalúas, y queda:

V = ∫∫∫_B ( (8 - x² - y²) - (x² + 3y²) )*dx*dy, operas y reduces la expresión del argumento de la integral, y queda:

V = ∫∫∫_B (8 - 2x² - 4y²)*dx*dy (3).

Luego, a fin de determinar la región de proyección del sólido sobre el plano OXY, igualas las expresiones señaladas (2) (1), y queda la ecuación:

x² + 3y² = 8 - x² - y², aquí operas (te dejo la tarea, y queda:

x² + 2y² = 4, aquí divides por 4 en todos los términos, y queda:

x²/4 + y²/2 = 1, expresas a los términos del primer miembro como cuadrados, y queda:

(x/2)² + ( y/√(2) )² = 1, que es la ecuación de una elipse en el plano OXY.

Luego, planteas el cambio a coordenadas polares "adaptadas para regiones planas elípticas", y queda:

x/2 = r*cosθ, y de aquí despejas: x = 2*r*cosθ (4),

y/√(2) = r*senθ, y de aquí despejas: y = √(2)*r*senθ (5),

cuyo factor de compensación (Jacobiano) queda expresado: │J│ = 2*√(2)*r (6),

y con la región de integración descrita por las inecuaciones dobles:

0 ≤ r ≤ 1,

0 ≤ θ ≤ 2π.

Luego, solo queda que sustituyas las expresiones señaladas (4) (5) e introduzcas la expresión señalada (6) en la expresión de la integral doble señalada (3), y la resuelvas, con los límites de integración que tienes indicados.

Haz el intento de terminar la tarea, y si te resulta necesario no dudes en volver a consultar.

Espero haberte ayudado.

Vamos con una orientación.

Observa que tienes un sólido, limitado "inferiormente" por el plano OXY, cuya ecuación es: z = 0, limitado "superiormente" por el paraboloide de revolución con vértice (0,0,0) y eje OZ, cuya ecuación puede escribirse: z = x²/4 + y²/4, y limitado "lateralmente" por el cilindro circular recto con eje paralelo a OZ, cuya ecuación es: x² + y² = 8y.

Luego, planteas la expresión del volumen de este sólido (B), y queda

V_B = ∫∫∫_B 1*dz*dx*dy = integras para la variable z = ∫∫_R [z]*dx*dy , aquí evalúas con Regla de Barrow, y queda:

V_B = ∫∫_R ( (x²/4 + y²/4) - (0) )*dx*dy, resuelves la expresión del argumento de la integral, y queda:

V_B = ∫∫_R (x²/4 + y²/4)*dx*dy (1).

Luego, observa que la región de proyección del sólido sobre el plano OXY es un disco circular, cuya frontera es una circunferencia cuya ecuación cartesiana es:

x² + y² = 8y,

y observa que el centro del disco es el punto (0,4), y que su radio es igual a 4, que el origen de coordenadas pertenece a la frontera del disco, y que éste ocupa parte del primer cuadrante y parte del segundo cuadrante, y cuyo eje de simetría es el eje OY (aquí sería muy conveniente que hagas el gráfico cartesiano correspondiente, para poder visualizar mejor la situación).

Luego, planteas el cambio a coordenadas polares, y queda:

x = r*cosθ,

y = r*senθ,

cuyo factor de compensación (Jacobiano) es: |J| = r;

luego, sustituyes expresiones en la ecuación de la circunferencia, y queda:

(r*cosθ)² + (r*senθ)² = 8*r*senθ, distribuyes cuadrados y extraes factor común en el primer miembro, y queda:

r²*(cos²θ + sen²θ) = 8*r*senθ, aplicas la identidad trigonométrica fundamental, restas 8*r*senθ en ambos miembros, y queda:

r² - 8*r*senθ = 0, extraes factor común, y queda:

r*(r - 8*senθ) = 0, y por anulación de una multiplicación, tienes dos opciones:

1°)

r = 0, que es la ecuación polar que corresponde al origen de coordenadas,

2°)

r - 8*senθ = 0, y de aquí despejas: r = 8*senθ), que es la ecuación polar de la circunferencia borde de la región R;

luego, tienes que la región de integración (disco circular R), queda descrita en coordenadas polares por las dobles inecuaciones:

0 ≤ r ≤ 8*senθ,

0 ≤ θ ≤ π,

y observa que la primera doble inecuación muestra que si trazas "rayos" desde el origen de coordenadas que cubran toda la región de proyección (R), entonces tienes que todos estos "rayos" nacen en el origen de coordenadas y "llegan hasta" la circunferencia borde, y observa también que la segunda doble inecuación muestra que la región de proyección (R) sen encuentra en los dos primeros cuadrantes.

Luego, sustituyes expresiones en la integral doble señalada (1), introduces también la expresión del factor de compensación, y queda:

V_B = ∫∫_R ( (r*cosθ)²/4 + (r*cosθ)²/4 )*r*dr*dθ,

y solo queda que desarrolles el argumento de la integral, para luego resolver la integral doble.

Haz el intento de terminar la tarea, y si te resulta necesario no dudes en volver a consultar.

Espero haberte ayudado.

la suma da 80º

solo tenemos que saber la condición (2)

por lo que sería opción B

Gracias¡¡

Jose, vas bien, los ángulos que pusiste están bien, pero te faltan aún

trabaja los ángulos del triángulo DBA

a continuación los ángulos del triángulo DCE

la solución es 75º

Fijate que el ángulo MPN es de 60º porque el triángulo MPN es equilátero. Entonces el ángulo QPN es 180º - 60º = 120º. Como PN y QR son paralelas, el ángulo QPN coincide con el ángulo SQR que también és 120º. Como el triángulo SQR es isósceles porque QR = SQ, los ángulos QSR y QRS son iguales (decimos que valen x cada uno). Sabemos que la suma de los ángulos de un triángulo es de 180º. Por tanto,

x + x + 120º = 180º

2x = 180º - 120º

2x = 60º

x = 60º/2

x = 30º

Por tanto, el ángulo QSR mide 30º y la respuesta correcta es la C).

Saludos.

fíjate que es la suma de:

1+2+3+4+5+....+(n-2)+(n-1)+n

1+2+3+4+5+....+(n-2)+(n-1)

1+2+3+4+5+....+(n-2)

...

1+2+3+4+5

1+2+3+4

1+2+3

1+2

1

sumemos pues:

lo hago en vertical

1*n+2*(n-1)+3*(n-2)+4*(n-3)+5*(n-4)+...+(n-2)*3+(n-1)*2+n*1

que es igual a:

Σ_i=1ⁿ[i*(n-i+1)]  = Σ_i=1ⁿ [in-i²+i] = Σ_i=1ⁿ in - Σ_i=1ⁿ i²  +  Σ_i=1ⁿ i  = n Σ_i=1ⁿ i - Σ_i=1ⁿ i²  + Σ_i=1ⁿ i  = 

=n²(1+n)/2-(n³/3+n²/2+n/6)+n(1+n)/2= ...
operando

... = (n³+3n²+2n)/6