El cálculo de integrales triples por lo general se puede hacer por cualquier método, sin embargo, si tenemos un problema en el cual existen simetrías conocidas, podemos realizar una simplificación, ya sea con coordenadas cilíndricas o esféricas. Por ejemplo, si tenemos un paraboloide o un cilindro, es común adaptar el problema a coordenadas cilíndricas. (Tal y como observamos,un paraboloide es una superficie que se genera mediante la revolución de una curva parabólica, de tal modo que parecería un "cilindro" que aumenta su radio conforme nos alejamos del "vértice"). Por otra parte, si tenemos una esfera que corta con un cilindro por ejemplo y queremos hallar el volumen que se crea entre ambas, podríamos usar coordenadas esféricas.
En mi caso lo realizaré con coordenadas cartesianas. En primer lugar, tenemos un paraboloide, un plano en z=0 y dos superficies que se crean al mover las parábolas en todo el eje z (Figura 2). Puesto que todas las funciones coinciden en el (0,0,0), el hecho de que nos den el plano z=0 nos delimita el volumen a calcular. En este caso es el pequeño volumen que se encuentra detrás del trozo pequeño rosa que se encuentra bajo la superficie azul.
Lo importante de estos problemas, es dibujar las figuras. Como es bastante complicado en algunos casos, podemos ayudarnos de las proyecciones en los planos X,Y,Z (como hice para calcular como se mueve y, de tal modo que se mueve entre x^2 y raiz de x). Por otra parte,no debemos olvidar que estamos calculando un volumen, por lo que una de las variables se moverá entre dos superficies (en mi caso z, se mueve entre el plano z=0 y la superficie del paraboloide). Por otra parte como estamos calculando un volumen (un número), tenemos z e y delimitadas por el resto de variables tal que z depende de x,y e y depende de x, vemos en que valores numéricos se mueve x (mediante las intersecciones de las curvas y^2=x e y=x^2.
En si este problema es dificil verlo a simple vista, es cierto, pero basta con leer cuidadosamente el enunciado y servirnos de todas las pistas que nos dan, espero haberte ayudado y disculpa si me extendí.
