Puedes designar con x, y, z al ancho, al largo y a la altura del prisma rectangular recto.
Luego, tienes que las tres dimensiones están en progresión geométrica, por lo que puedes plantear:
x = a (1),
y = a*r (2),
z = a*r2 (3).
Luego, tienes el valor de la suma de las tres dimensiones, por lo que puedes plantear la ecuación:
x + y + z = 28, aquí sustituyes las expresiones señaladas (1) (2) (3), y queda:
a + a*r + a*r2 = 28, extraes factor común, y queda:
a*(1 + r + r2) = 28 (4).
Luego, tienes el el valor del volumen, por lo que puedes plantear la ecuación:
x*y*z = 512, sustituyes las expresiones señaladas (1) (2) (3), y queda:
a*a*r*a*r2 = 512, reduces factores semejantes, y queda:
a3*r3 = 512, asocias factores, y queda:
(a*r)3 = 512, extraes raíz cúbica en ambos miembros, y queda:
a*r = 8, divides por r en ambos miembros, y queda:
a = 8/r (5).
Luego, sustituyes la expresión señalada (5) en la ecuación señalada (4), y queda:
(8/r)*(1 + r + r2) = 28, multiplicas por r y divides por 4 en ambos miembros, y queda:
2*(1 + r + r2) = 7*r, distribuyes el primer miembro, restas 7*r en ambos miembros, ordenas términos, y queda:
2*r2 - 5*r + 2 = 0,
que es una ecuación polinómica cuadrática, cuyas soluciones son:
a)
r = 2, reemplazas este valor en la ecuación señalada (5), y queda: a = 4;
luego, reemplazas este par de valores en las ecuaciones señaladas (1) (2) (3), y queda:
x = 4 m, y = 8 m, z = 16 m;
b)
r = 1/2, reemplazas este valor en la ecuación señalada (5), resuelves, y queda: a = 16;
luego, reemplazas este par de valores en las ecuaciones señaladas (1) (2) (3), y queda:
x = 16 m, y = 8 m, z = 4 m.
Luego, puedes concluir que las dimensiones del ortoedro, independientemente de sus designaciones, son: 4 m, 8 m y 16 m.
Espero haberte ayudado.