https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B3,-2,-1,1,-2%7D,%7B-2,1,3,4,1%7D,%7B0,-1,7,14,-1%7D,%7B1,-1,2,5,-1%7D%7D%29

solo se han cambiado x=x1   y=x2   z=x3   t=x4

Halla la distancia entre el punto dado y la recta

Busca un punto que tenga esa misma distancia a la recta, te saldrán dos puntos, el que te dieron y el que te piden.

Pero quedaría la fórmula de distancias con 2 incógnitas la coordenada x e y del punto pedido y ahí es donde me bloqueo 

Sabemos que: A(A-I)=A²-A=I

la matriz A es invertible (o lo que es lo mismo, tiene inversa) pues existe una matriz que llamaremos B tal que el producto de ambas da la matriz identidad

B=A-I

AB=A(A-I)=A²-A=I

BA=(A-I)A==A²-A=I

Por lo tanto A^-1=A-I

pincha aquí

Crecimiento y curvatura

D= ℛ-{5}

R=ℛ-{2}

AV => x=5

AH => y=-2

Vamos con una opción, en la que empleamos integrales.

Observa que el área del triángulo es igual a 8 (observa que su base es el segmento BC, cuya longitud es igual a ocho, y que su altura es igual a dos). 

Luego, plantea una recta paralela al eje OY con ecuación: x = k, con k comprendido entre 2 y 10,

y observa que el triángulo queda dividido en dos partes: un trapezoide en el cuál dos de sus vértices son los puntos A y B, y un triángulo rectángulo con altura sobre la recta trazada, y con base sobre el segmento BC.

Luego, observa que el área del triángulo (y también la del trapezoide) debe ser igual a 4;

y observa también que el triángulo está limitado:

por la recta cuya ecuación es: y = 2 ("por arriba"),

por la recta cuya ecuación es: y = (1/5)x ("por abajo"),

por la recta cuya ecuación es: x = k ("por la izquieda"),

y por el vértice: C(10,2) ("por la derecha").

Luego, puedes plantear la ecuación:

A_Tr = 4, 

expresas al área del triángulo como una integral, y queda:

_k∫¹⁰ (2 - (1/5)x)*dx = 4,

resuelves la integral (indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow entre k y 10), y queda:

[2x - (1/10)x²] = 4,

evalúas, y queda:

(20 - 10) - (2k - (1/10)k²) = 4, 

resuelves el primer término, distribuyes el segundo término, y queda:

10 - 2k + (1/10)k² = 4,

multiplicas por 10 en todos los términos, y queda:

100 - 20k + k² = 40,

restas 40 en ambos miembros, reduces términos numéricos, ordenas términos, y queda:

k² - 20k + 60 = 0,

que es una ecuación polinómica cuadrática, cuyas soluciones son:

1°)

k = 10 + √(40) (cuyo valor aproximado es: k ≅ 16,325),

que no tiene sentido para este problema, porque este valor corresponde a una recta exterior al triángulo de tu enunciado;

2°)

k = 10 - √(40) (cuyo valor aproximado es: k ≅ 3,675),

que sí tiene sentido para este problema, porque este valor corresponde a una recta que sí corta al triángulo de tu enunciado.

Espero haberte ayudado.

Se puede hacer de otra forma que no sea con integrales es que estoy en 4 ESO y aún no los he dado

Vamos con una orientación.

Planteas las coordenadas del punto medio del segmento BC, y queda:

M( (3+9)/2 , (1+3)/2 ), por lo que tienes que el punto medio de este segmento queda expresado: M(6,2).

Luego, planteas la expresión de la pendiente del segmento BC, y queda:

m = (3-1)/(9-3), resuelves, y queda: m = 1/3,

por lo que tienes que la recta perpendicular al segmento BC que pasa por el punto M(6,2) tienes pendiente: m' = -3,

y su ecuación cartesiana queda:

y = -3(x-6)+2, aquí distribuyes el primer término, reduces términos numéricos, y queda: y = -3x + 20.

Luego, observa que el vértice que falta determinar: A(a,b) pertenece a esta última recta, por lo que tienes que sus coordenadas verifican su ecuación, y puedes plantear:

b = -3a + 20,

por lo que tienes que el tercer vértice del triángulo queda expresado hasta el momento: A(a,-3a+20) (1).

Luego, observa que la altura del triángulo (cuya longitud es 4 cm)  coincide con el segmento MA, por lo que puedes plantear la ecuación:

|MA| = 4,

sustituyes la expresión de la longitud del segmento MA en el primer miembro (observa que debes emplear la expresión del vértice A señalada (1) y la expresión del punto M), y queda:

√( (a-6)² + (-3a+20-2)² ) = 4,

reduces términos numéricos en el segundo término del argumento de la raíz, elevas al cuadrado en ambos miembros, y la ecuación queda:

(a-6)² + (-3a+18)² = 16,

desarrollas los binomios elevados al cuadrado, y queda:

a² - 12a + 36 + 9a² - 108a + 324 = 16,

restas 16 en ambos miembros, reduces términos semejantes, ordenas términos, y queda:

10a² - 120a + 344 = 0,

divides por 2 en todos los términos, y queda:

5a² - 60a + 172 = 0,

que es una ecuación polinómica cuadrática, cuyas soluciones son:

1°)

a = ( 60-√(160) )/10,

2°)

a = ( 60+√(160) )/10.

Luego, solo queda que reemplaces los dos valores remarcados en la expresión del tercer vértice señalada (1), y tendrás las dos opciones posibles (observa que se encuentran en posiciones simétricas con respecto al lado desigual BC del triángulo al que se refiere tu enunciado).

Espero haberte ayudado.