Vamos con un desarrollo por etapas, que espero te sea útil.
1°)
Tienes el punto: A(1,3,-2),
y tienes la ecuación vectorial paramétrica de la recta L: <x,y,z> = λ*<1,0,1> + <1,2,0>, con λ ∈ R, cuyo vector director es: u = <1,0,1>;
y tienes que calcular las coordenadas del punto P(x,y,z) que es el punto simétrico al punto A con respecto a la recta L;
luego, con las coordenadas del punto A, y con las componentes del vector u, planteas la ecuación cartesiana implícita del plano Σ que perpendicular a la recta L y que pasa por el punto A, y queda:
1*(x - 1) + 0*(y - 3) + 1*(z + 2) = 0, cancelas el término nulo, distribuyes, y queda:
x + z + 1 = 0 (1);
luego, planteas la intersección de la recta L con el plano Σ, a fin de determinar su punto de intersección (M), para ello, planteas las ecuaciones cartesianas paramétricas de la recta L a partir de su ecuación vectorial paramétrica que tienes en tu enunciado, y queda:
x = λ + 1 (2),
y = 2 (3),
z = λ (4);
luego, sustituyes las expresiones señaladas (2) (4) en la ecuación señalada (1), y queda:
λ + 1 + λ + 1 = 0, reduces términos semejantes, y queda:
2*λ + 2 = 0, y de aquí despejas: λ = -1;
luego, reemplazas este valor en las ecuaciones señaladas (2) (3) (4) (en realidad, en la primera y en la última de ellas), resuelves, y queda:
x = 0,
y = 2,
z = -1,
que son las coordenadas del punto de intersección de la recta L con el plano Σ, cuyas expresión es: M(0,2,-1);
luego, como tienes en tu enunciado que el punto A y el punto P son simétricos con respecto a la recta L, entonces tienes que M es el punto medio del segmento determinado por los puntos A y P, y por ello tienes también que los vectores: AM y MP son equivalentes, por lo que puedes plantear la ecuación vectorial:
MP = AM, planteas las expresiones de los vectores, y queda:
< x-0 , y-2 , z+1 > = < 0-1 , 2-3 , -1+2 >,
cancelas el término nulo en las primeras componentes, resuelves las expresiones de las componentes en el segundo miembro, y queda:
< x , y-2 , z+1 > = < -1 , -1 , 1 >, y por igualdad entre expresiones vectoriales igualas componente a componente, y quedan las ecuaciones:
x = -1,
y - 2 = -1, de aquí despejas: y = 1,
z + 1 = 1, de aquí despejas: z = 0,
por lo que tienes que la expresión del punto simétrico al punto A con respecto a la recta L es: P(-1,1,0).
2°)
Tienes el punto: B(-2,0,2),
y tienes la ecuación cartesiana implícita del plano ∏: x + y - z = 2, donde tienes que su vector normal es: n = <1,1,-1>,
y tienes que calcular las coordenadas del punto Q(x,y,z), que es la proyección del punto B sobre el plano Π;
luego, con las coordenadas del punto B y con las componentes del vector n, planteas las ecuaciones cartesianas paramétricas de la recta R que es perpendicular al plano Π, y queda:
x = μ - 2 (5),
y = μ (6),
z = -μ + 2 (7),
con μ ∈ r;
luego, sustituyes las expresiones señaladas (5) (6) (7) en la ecuación del plano Π, y queda:
μ - 2 + μ - (-μ + 2) = 2, distribuyes el tercer término y reduces términos semejantes en el primer miembro, y queda:
3*μ - 4 = 2, y de aquí despejas: μ = 2;
luego, remplazas este valor en las ecuaciones señaladas (5) (6) (7), resuelves, y queda:
x = 0,
y = 2,
z = 0,
por lo que tienes que la expresión del punto que es proyección del punto B sobre el plano Π es: Q(0,2,0).
3°)
Planteas la expresión de un vector director de la recta K que pasa por los puntos P y Q, y queda:
v = PQ = < 0+1 , 2-1 , 0-0 > = < 1 , 1 , 0 >;
luego, con las coordenadas de uno de los puntos de la recta (nosotros elegimos el punto Q), y con las componentes del vector v, planteas las ecuaciones cartesianas paramétricas de la recta K, y queda:
x = φ,
y = φ + 2,
z = 0,
con φ ∈ R.
Espero haberte ayudado.
Para Jose Ramos.
