Primero distribuye, te queda:
∫x²Ln(x) dx + ∫Ln(x) dx
La primera es con u=Ln(x) y dv=x²dx
La segunda la resuelve David en este video: Integral por partes 02

Entonces el ejercicio se transforma en 2?

Si, o puedes intentar con:
u=Ln(x)
dv=(x²+1) dx

Pero creo que queda mas larga...

Ok, muchas gracias, voy a intentarlo ahora.

El valor absoluto dentro de la raiz cuadrada "solo" quiere decir que la raiz cuadrada debe existir y que el resultado de la integral está restringido al dominio de la funcion 1/√I(x-1)(x-2)I, que es (-∞,1)U(2,∞)... ¿mejor?

Un pequeño apunte:
El valor absoluto dentro de la raíz cuadrada dividiendo va a permitir que, salvo en los valores x=1 y x=2, la función exista siempre. Entonces, tenemos dos integrales:
∫(1/√(x-1)(x-2))dx ,en x∈(-∞,1)U(2,∞) y ∫(1/√-(x-1)(x-2)))dx, en x∈(1,2).

Te va la primera (en x∈(-∞,1)U(2,∞) )

Y ahora la otra (en x∈(1,2))

Con esos vídeos podrás resolverlos :)
Ecuacion logaritmica 01
Ecuacion logaritmica 02
Ecuacion logaritmica 03

Gracias Luis, pero en serio, no entiendo nada de eso, se me hace muy difícil!

Para eso son los vídeos, para que entiendas :)
Una vez que los hayas visto, intenta hacer tus ejercicios y sube tu procedimiento para ayudarte

La segunda ecuación la tienes mal copiada. Hice un arreglo, para poder resolver el sistema.
El resultado es muy bonito, pero no vale. El sistema no tiene solución. Míralo despacito.

∫(x+2)/(x²-2x-15) dx→∫(x+2)/[(x+3)(x-5)] dx
Aplicando fracciones parciales
∫(x+2)/[(x+3)(x-5)] dx= 1/8∫1/(x+3) dx + 7/8∫1/(x-5) dx=1/8 Ln|x+3|+7/8 Ln|x-5| +C

Utilizas la relación fundamental: sin^2 x+ cos^2 x =1
Despejas sin^2 x y lo sustituyes en tu ecuación.
Te queda una ecuación de 2º grado básica en la incógnita cos x.
Inténtalo y muéstranos tu trabajo.
http://www.unicoos.com/unicoosWeb/leccion/matematicas/1-bachiller/trigonometria/ecuaciones-trigonometricas

¿Y cual es tu duda?

Hola, queria saber si discuto el sistema bien.

Intenta con u=√(1+(1/x))→u²=1+(1/x)
Se ve fea, pero intenta con eso y me cuentas ;)

Ya lo hize con los dos cambios pero nada... Voy hacerla de nuevo y la subo

Pues no la he hecho, pero según yo si da. Debes aplicar fracciones parciales a la integral que te queda después del cambio.

Por fracciones parciales luis?

Si, aplica fracciones parciales. Recuerda que el denominador puede verse como (x-1)²(x+1)²
El sistema sera quizá un poco tedioso, pero si sale XD

Resultat:

Me devuelvo a estudiar sistemas de ecuaciones :(

Te va el a), Gonzalo. Método de Gauss, Revisa los cálculos.

Va la segunda:

Te lo explico, Álvaro.

Hola Sofía. Trata graficando primero las funciones. En la primera, (si no me equivoco) es f(x)=√x, puedes darle valores a x para obtener la imagen en esos puntos. En la segunda, Y=3, te va a quedar una recta horizontal en el valor 3 de Y. Y para la tercera, 0 ≤ x ≤ 16, tienes un dominio, que precisamente no sé cómo usarlo (lo siento), creo que haría falta una función o es el dominio de f(x)=√x. Se me ocurre también, no estoy seguro, que puede ser una línea recta que abarca todos esos valores en x, pero no te lo puedo asegurar. ¡Te deseo la mejor de las suertes!